Theorem lmrel 7927

Description: The metric space convergence relation is a relation.

Assertion

Ref	Expression
lmrel	|- (D e. Met -> Rel (~~>m` D))

Proof of Theorem lmrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relopab 3266	. 2 |- Rel {<.f, y>. | (f (_ (CC X. dom dom D) /\ y e. dom dom D /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. dom dom D /\ ((f` k)Dy) < x))))}
2		eqid 1475	. . . 4 |- dom dom D = dom dom D
3	2	lmfval 7925	. . 3 |- (D e. Met -> (~~>m` D) = {<.f, y>. | (f (_ (CC X. dom dom D) /\ y e. dom dom D /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. dom dom D /\ ((f` k)Dy) < x))))})
4		releq 3243	. . 3 |- ((~~>m` D) = {<.f, y>. | (f (_ (CC X. dom dom D) /\ y e. dom dom D /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. dom dom D /\ ((f` k)Dy) < x))))} -> (Rel (~~>m` D) <-> Rel {<.f, y>. | (f (_ (CC X. dom dom D) /\ y e. dom dom D /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. dom dom D /\ ((f` k)Dy) < x))))}))
5	3, 4	syl 10	. 2 |- (D e. Met -> (Rel (~~>m` D) <-> Rel {<.f, y>. | (f (_ (CC X. dom dom D) /\ y e. dom dom D /\ A.x e. RR (0 < x -> E.j e. ZZ A.k e. ZZ (j <_ k -> ((f` k) e. dom dom D /\ ((f` k)Dy) < x))))}))
6	1, 5	mpbiri 194	1 |- (D e. Met -> Rel (~~>m` D))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  {copab 2666   X. cxp 3168  dom cdm 3170  Rel wrel 3175  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486  Metcme 7789  ~~>mclm 7919

This theorem is referenced by:  lmbr 7928

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-qs 4266  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086  df-nr 5167  df-c 5240  df-lm 7922

Copyright terms: Public domain