Theorem lnfn0 22623

Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfn0	|- ( T e. LinFn -> ( T ` 0h ) = 0 )

Proof of Theorem lnfn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5485	. . 3 |- ( T = if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) -> ( T ` 0h ) = ( if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ` 0h ) )
2	1	eqeq1d 2292	. 2 |- ( T = if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) -> ( ( T ` 0h ) = 0 <-> ( if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ` 0h ) = 0 ) )
3		0lnfn 22561	. . . 4 |- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn
4	3	elimel 3618	. . 3 |- if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) e. LinFn
5	4	lnfn0i 22618	. 2 |- ( if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ` 0h ) = 0
6	2, 5	dedth 3607	1 |- ( T e. LinFn -> ( T ` 0h ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1623   e. wcel 1685   ifcif 3566   {csn 3641   X. cxp 4686   ` cfv 5221   0cc0 8733   ~Hchil 21495   0hc0v 21500   LinFnclf 21530

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-hilex 21575  ax-hfvadd 21576  ax-hv0cl 21579  ax-hvaddid 21580  ax-hfvmul 21581  ax-hvmulid 21582

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-ltxr 8868  df-sub 9035  df-lnfn 22424