Theorem lnfn0 22588

Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
lnfn0	|- ( T e. LinFn -> ( T ` 0h ) = 0 )

Proof of Theorem lnfn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 5457	. . 3 |- ( T = if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) -> ( T ` 0h ) = ( if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ` 0h ) )
2	1	eqeq1d 2266	. 2 |- ( T = if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) -> ( ( T ` 0h ) = 0 <-> ( if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ` 0h ) = 0 ) )
3		0lnfn 22526	. . . 4 |- ( ~H X. { 0 } ) e. LinFn
4	3	elimel 3591	. . 3 |- if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) e. LinFn
5	4	lnfn0i 22583	. 2 |- ( if ( T e. LinFn , T , ( ~H X. { 0 } ) ) ` 0h ) = 0
6	2, 5	dedth 3580	1 |- ( T e. LinFn -> ( T ` 0h ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 6   = wceq 1619   e. wcel 1621   ifcif 3539   {csn 3614   X. cxp 4659   ` cfv 4673   0cc0 8705   ~Hchil 21460   0hc0v 21465   LinFnclf 21495

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-hilex 21540  ax-hfvadd 21541  ax-hv0cl 21544  ax-hvaddid 21545  ax-hfvmul 21546  ax-hvmulid 21547

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-ltxr 8840  df-sub 9007  df-lnfn 22389