HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfn0 Unicode version

Theorem lnfn0 23391
Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 25-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnfn0  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T `  0h )  =  0 )

Proof of Theorem lnfn0
StepHypRef Expression
1 fveq1 5660 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( T `  0h )  =  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) `  0h ) )
21eqeq1d 2388 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( ( T `
 0h )  =  0  <->  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  0h )  =  0 ) )
3 0lnfn 23329 . . . 4  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
43elimel 3727 . . 3  |-  if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  LinFn
54lnfn0i 23386 . 2  |-  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) `  0h )  =  0
62, 5dedth 3716 1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T `  0h )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3675   {csn 3750    X. cxp 4809   ` cfv 5387   0cc0 8916   ~Hchil 22263   0hc0v 22268   LinFnclf 22298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-hilex 22343  ax-hfvadd 22344  ax-hv0cl 22347  ax-hvaddid 22348  ax-hfvmul 22349  ax-hvmulid 22350
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-ltxr 9051  df-sub 9218  df-lnfn 23192
  Copyright terms: Public domain W3C validator