HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfncon Unicode version

Theorem lnfncon 22638
Description: A condition equivalent to " T is continuous" when  T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnfncon  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem lnfncon
StepHypRef Expression
1 eleq1 2345 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( T  e. 
ConFn 
<->  if ( T  e. 
LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn ) )
2 fveq1 5526 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( T `  y )  =  ( if ( T  e. 
LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 y ) )
32fveq2d 5531 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( abs `  ( T `  y )
)  =  ( abs `  ( if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 y ) ) )
43breq1d 4035 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( ( abs `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  y ) )  <->  ( abs `  ( if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) ) )
54rexralbidv 2589 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( abs `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) ) )
61, 5bibi12d 312 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )  <->  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  ConFn  <->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( abs `  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) `  y
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  y ) ) ) ) )
7 0lnfn 22567 . . . 4  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
87elimel 3619 . . 3  |-  if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  LinFn
98lnfnconi 22637 . 2  |-  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) )  e.  ConFn  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) `  y
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  y ) ) )
106, 9dedth 3608 1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545   E.wrex 2546   ifcif 3567   {csn 3642   class class class wbr 4025    X. cxp 4689   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   RRcr 8738   0cc0 8739    x. cmul 8744    <_ cle 8870   abscabs 11721   ~Hchil 21501   normhcno 21505   ConFnccnfn 21535   LinFnclf 21536
This theorem is referenced by:  lnfncnbd  22639  riesz1  22647  cnlnadjlem2  22650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-hilex 21581  ax-hfvadd 21582  ax-hv0cl 21585  ax-hvaddid 21586  ax-hfvmul 21587  ax-hvmulid 21588  ax-hvmulass 21589  ax-hvmul0 21592  ax-hfi 21660  ax-his1 21663  ax-his3 21665  ax-his4 21666
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-hnorm 21550  df-hvsub 21553  df-nmfn 22427  df-cnfn 22429  df-lnfn 22430
  Copyright terms: Public domain W3C validator