HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfncon Unicode version

Theorem lnfncon 22597
Description: A condition equivalent to " T is continuous" when  T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnfncon  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem lnfncon
StepHypRef Expression
1 eleq1 2318 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( T  e. 
ConFn 
<->  if ( T  e. 
LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  e.  ConFn ) )
2 fveq1 5457 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( T `  y )  =  ( if ( T  e. 
LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 y ) )
32fveq2d 5462 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( abs `  ( T `  y )
)  =  ( abs `  ( if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 y ) ) )
43breq1d 4007 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( ( abs `  ( T `  y
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  y ) )  <->  ( abs `  ( if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) ) `
 y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) ) )
54rexralbidv 2562 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( abs `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) ) `  y ) )  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) ) )
61, 5bibi12d 314 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinFn ,  T , 
( ~H  X.  {
0 } ) )  ->  ( ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )  <->  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  ConFn  <->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( abs `  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) `  y
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  y ) ) ) ) )
7 0lnfn 22526 . . . 4  |-  ( ~H 
X.  { 0 } )  e.  LinFn
87elimel 3591 . . 3  |-  if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H  X.  { 0 } ) )  e.  LinFn
98lnfnconi 22596 . 2  |-  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) )  e.  ConFn  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( if ( T  e.  LinFn ,  T ,  ( ~H 
X.  { 0 } ) ) `  y
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  y ) ) )
106, 9dedth 3580 1  |-  ( T  e.  LinFn  ->  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519   ifcif 3539   {csn 3614   class class class wbr 3997    X. cxp 4659   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   RRcr 8704   0cc0 8705    x. cmul 8710    <_ cle 8836   abscabs 11685   ~Hchil 21460   normhcno 21464   ConFnccnfn 21494   LinFnclf 21495
This theorem is referenced by:  lnfncnbd  22598  riesz1  22606  cnlnadjlem2  22609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-hilex 21540  ax-hfvadd 21541  ax-hv0cl 21544  ax-hvaddid 21545  ax-hfvmul 21546  ax-hvmulid 21547  ax-hvmulass 21548  ax-hvmul0 21551  ax-hfi 21619  ax-his1 21622  ax-his3 21624  ax-his4 21625
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-rp 10323  df-seq 11014  df-exp 11072  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-hnorm 21509  df-hvsub 21512  df-nmfn 22386  df-cnfn 22388  df-lnfn 22389
  Copyright terms: Public domain W3C validator