HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnconi Unicode version

Theorem lnfnconi 23546
Description: A condition equivalent to " T is continuous" when  T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfncon.1  |-  T  e. 
LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnconi  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem lnfnconi
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnfncon.1 . . 3  |-  T  e. 
LinFn
2 nmcfnex 23544 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  ->  ( normfn `
 T )  e.  RR )
31, 2mpan 652 . 2  |-  ( T  e.  ConFn  ->  ( normfn `  T )  e.  RR )
4 nmcfnlb 23545 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  y
) )  <_  (
( normfn `  T )  x.  ( normh `  y )
) )
51, 4mp3an1 1266 . 2  |-  ( ( T  e.  ConFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  y ) ) )
61lnfnfi 23532 . . 3  |-  T : ~H
--> CC
7 elcnfn 23373 . . 3  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  ( T : ~H --> CC  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( T `  w
)  -  ( T `
 x ) ) )  <  z ) ) )
86, 7mpbiran 885 . 2  |-  ( T  e.  ConFn 
<-> 
A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( T `  w
)  -  ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
96ffvelrni 5860 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  CC )
109abscld 12226 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  e.  RR )
111lnfnsubi 23537 . 2  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w )  -  ( T `  x ) ) )
123, 5, 8, 10, 11lnconi 23524 1  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978    x. cmul 8984    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280   RR+crp 10601   abscabs 12027   ~Hchil 22410   normhcno 22414    -h cmv 22416   normfncnmf 22442   ConFnccnfn 22444   LinFnclf 22445
This theorem is referenced by:  lnfncon  23547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-hilex 22490  ax-hfvadd 22491  ax-hv0cl 22494  ax-hvaddid 22495  ax-hfvmul 22496  ax-hvmulid 22497  ax-hvmulass 22498  ax-hvmul0 22501  ax-hfi 22569  ax-his1 22572  ax-his3 22574  ax-his4 22575
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-hnorm 22459  df-hvsub 22462  df-nmfn 23336  df-cnfn 23338  df-lnfn 23339
  Copyright terms: Public domain W3C validator