HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnfnconi Unicode version

Theorem lnfnconi 22627
Description: A condition equivalent to " T is continuous" when  T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnfncon.1  |-  T  e. 
LinFn
Assertion
Ref Expression
lnfnconi  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem lnfnconi
StepHypRef Expression
1 lnfncon.1 . . 3  |-  T  e. 
LinFn
2 nmcfnex 22625 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn )  ->  ( normfn `
 T )  e.  RR )
31, 2mpan 654 . 2  |-  ( T  e.  ConFn  ->  ( normfn `  T )  e.  RR )
4 nmcfnlb 22626 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinFn  /\  T  e.  ConFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  y
) )  <_  (
( normfn `  T )  x.  ( normh `  y )
) )
51, 4mp3an1 1269 . 2  |-  ( ( T  e.  ConFn  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( ( normfn `  T
)  x.  ( normh `  y ) ) )
61lnfnfi 22613 . . 3  |-  T : ~H
--> CC
7 elcnfn 22454 . . 3  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  ( T : ~H --> CC  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( T `  w
)  -  ( T `
 x ) ) )  <  z ) ) )
86, 7mpbiran 889 . 2  |-  ( T  e.  ConFn 
<-> 
A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( T `  w
)  -  ( T `
 x ) ) )  <  z ) )
96ffvelrni 5625 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  CC )
109abscld 11912 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( abs `  ( T `  y ) )  e.  RR )
111lnfnsubi 22618 . 2  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w )  -  ( T `  x ) ) )
123, 5, 8, 10, 11lnconi 22605 1  |-  ( T  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( abs `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    e. wcel 1688   A.wral 2544   E.wrex 2545   class class class wbr 4024   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731    x. cmul 8737    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032   RR+crp 10349   abscabs 11713   ~Hchil 21491   normhcno 21495    -h cmv 21497   normfncnmf 21523   ConFnccnfn 21525   LinFnclf 21526
This theorem is referenced by:  lnfncon  22628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-hilex 21571  ax-hfvadd 21572  ax-hv0cl 21575  ax-hvaddid 21576  ax-hfvmul 21577  ax-hvmulid 21578  ax-hvmulass 21579  ax-hvmul0 21582  ax-hfi 21650  ax-his1 21653  ax-his3 21655  ax-his4 21656
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-hnorm 21540  df-hvsub 21543  df-nmfn 22417  df-cnfn 22419  df-lnfn 22420
  Copyright terms: Public domain W3C validator