Theorem lnfnl 9964

Description: Basic property of a linear Hilbert space functional.

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	|- T e. LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnl	|- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (T` ((A .h B) +h C)) = ((A x. (T` B)) + (T` C)))

Proof of Theorem lnfnl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnfnl.1	. . 3 |- T e. LinFn
2		lnfnlt 9850	. . 3 |- (((T e. LinFn /\ A e. CC) /\ (B e. H~ /\ C e. H~)) -> (T` ((A .h B) +h C)) = ((A x. (T` B)) + (T` C)))
3	1, 2	mpanl1 708	. 2 |- ((A e. CC /\ (B e. H~ /\ C e. H~)) -> (T` ((A .h B) +h C)) = ((A x. (T` B)) + (T` C)))
4	3	3impb 831	1 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (T` ((A .h B) +h C)) = ((A x. (T` B)) + (T` C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244   + caddc 5249   x. cmul 5251  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785  LinFnclf 8818

This theorem is referenced by:  lnfn0 9966  lnfnadd 9967  lnfnmul 9968

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-lnfn 9769

Copyright terms: Public domain