Theorem lnfnsub 9970

Description: Subtraction property for a linear Hilbert space functional.

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	|- T e. LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfnsub	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (T` (A -h B)) = ((T` A) - (T` B)))

Proof of Theorem lnfnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5281	. . . 4 |- 1 e. CC
2	1	negcl 5381	. . 3 |- -u1 e. CC
3		lnfnl.1	. . . 4 |- T e. LinFn
4	3	lnfnaddmul 9969	. . 3 |- ((-u1 e. CC /\ A e. H~ /\ B e. H~) -> (T` (A +h (-u1 .h B))) = ((T` A) + (-u1 x. (T` B))))
5	2, 4	mp3an1 905	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (T` (A +h (-u1 .h B))) = ((T` A) + (-u1 x. (T` B))))
6		hvsubvalt 8881	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))
7	6	fveq2d 3734	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (T` (A -h B)) = (T` (A +h (-u1 .h B))))
8		mulm1t 5483	. . . . . 6 |- ((T` B) e. CC -> (-u1 x. (T` B)) = -u(T` B))
9	8	opreq2d 3982	. . . . 5 |- ((T` B) e. CC -> ((T` A) + (-u1 x. (T` B))) = ((T` A) + -u(T` B)))
10	9	adantl 390	. . . 4 |- (((T` A) e. CC /\ (T` B) e. CC) -> ((T` A) + (-u1 x. (T` B))) = ((T` A) + -u(T` B)))
11		negsubt 5394	. . . 4 |- (((T` A) e. CC /\ (T` B) e. CC) -> ((T` A) + -u(T` B)) = ((T` A) - (T` B)))
12	10, 11	eqtr2d 1511	. . 3 |- (((T` A) e. CC /\ (T` B) e. CC) -> ((T` A) - (T` B)) = ((T` A) + (-u1 x. (T` B))))
13	3	lnfnf 9965	. . . 4 |- T:H~-->CC
14	13	ffvelrni 3821	. . 3 |- (A e. H~ -> (T` A) e. CC)
15	13	ffvelrni 3821	. . 3 |- (B e. H~ -> (T` B) e. CC)
16	12, 14, 15	syl2an 456	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((T` A) - (T` B)) = ((T` A) + (-u1 x. (T` B))))
17	5, 7, 16	3eqtr4d 1520	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (T` (A -h B)) = ((T` A) - (T` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247   + caddc 5249   x. cmul 5251   - cmin 5304  -ucneg 5305  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785   -h cmv 8787  LinFnclf 8818

This theorem is referenced by:  lnfncon 9985  riesz3 9990

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-hvsub 8835  df-lnfn 9769

Copyright terms: Public domain