Theorem lnof 8350

Description: A linear operator is a mapping.

Hypotheses

Ref	Expression
lnof.1	|- X = (Base` U)
lnof.2	|- Y = (Base` W)
lnof.7	|- L = (U LnOp W)

Assertion

Ref	Expression
lnof	|- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->Y)

Proof of Theorem lnof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnof.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
2		lnof.2	. . . 4 |- Y = (Base` W)
3		eqid 1468	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
4		eqid 1468	. . . 4 |- (+v` W) = (+v` W)
5		eqid 1468	. . . 4 |- (.s` U) = (.s` U)
6		eqid 1468	. . . 4 |- (.s` W) = (.s` W)
7		lnof.7	. . . 4 |- L = (U LnOp W)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	islno 8348	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) -> (T e. L <-> (T:X-->Y /\ A.x e. X A.y e. CC A.z e. X (T` (x(+v` U)(y(.s` U)z))) = ((T` x)(+v` W)(y(.s` W)(T` z))))))
9	8	pm3.26bda 420	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec) /\ T e. L) -> T:X-->Y)
10	9	3impa 826	1 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->Y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  Basecba 8143  .scns 8144   LnOp clno 8335

This theorem is referenced by:  lno0 8351  lnocoi 8352  lnosub 8353  lnomul 8354  nvcnpi4 8355  isblo2 8375  blof 8377  nmlno0lem 8385  nmlnoubi 8388  nmlnogt0 8389  isblo3i 8392  blocnilem 8395  blocni 8396  htthlem1 8550  htthlem6 8555  htthlem7 8556  htthlem12 8561

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-lno 8339

Copyright terms: Public domain