Theorem lnomul 8354

Description: Scalar multiplication property of a linear operator.

Hypotheses

Ref	Expression
lnomul.1	|- X = (Base` U)
lnomul.5	|- R = (.s` U)
lnomul.6	|- S = (.s` W)
lnomul.7	|- L = (U LnOp W)

Assertion

Ref	Expression
lnomul	|- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> (T` (ARB)) = (AS(T` B)))

Proof of Theorem lnomul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnomul.1	. . . . . . 7 |- X = (Base` U)
2		eqid 1468	. . . . . . 7 |- (0v` U) = (0v` U)
3	1, 2	nvzcl 8195	. . . . . 6 |- (U e. NrmCVec -> (0v` U) e. X)
4	3	adantr 389	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> (0v` U) e. X)
5		simprl 414	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> A e. CC)
6		simprr 415	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> B e. X)
7	4, 5, 6	3jca 817	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> ((0v` U) e. X /\ A e. CC /\ B e. X))
8	7	3ad2antl1 807	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> ((0v` U) e. X /\ A e. CC /\ B e. X))
9		eqid 1468	. . . 4 |- (Base` W) = (Base` W)
10		eqid 1468	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
11		eqid 1468	. . . 4 |- (+v` W) = (+v` W)
12		lnomul.5	. . . 4 |- R = (.s` U)
13		lnomul.6	. . . 4 |- S = (.s` W)
14		lnomul.7	. . . 4 |- L = (U LnOp W)
15	1, 9, 10, 11, 12, 13, 14	lnolin 8349	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ ((0v` U) e. X /\ A e. CC /\ B e. X)) -> (T` ((0v` U)(+v` U)(ARB))) = ((T` (0v` U))(+v` W)(AS(T` B))))
16	8, 15	syldan 467	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> (T` ((0v` U)(+v` U)(ARB))) = ((T` (0v` U))(+v` W)(AS(T` B))))
17	1, 12	nvscl 8187	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. CC /\ B e. X) -> (ARB) e. X)
18	17	3expb 832	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> (ARB) e. X)
19	1, 10, 2	nv0lid 8197	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ (ARB) e. X) -> ((0v` U)(+v` U)(ARB)) = (ARB))
20	18, 19	syldan 467	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> ((0v` U)(+v` U)(ARB)) = (ARB))
21	20	fveq2d 3713	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> (T` ((0v` U)(+v` U)(ARB))) = (T` (ARB)))
22	21	3ad2antl1 807	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> (T` ((0v` U)(+v` U)(ARB))) = (T` (ARB)))
23		eqid 1468	. . . . . 6 |- (0v` W) = (0v` W)
24	1, 9, 2, 23, 14	lno0 8351	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> (T` (0v` U)) = (0v` W))
25	24	adantr 389	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> (T` (0v` U)) = (0v` W))
26	25	opreq1d 3960	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> ((T` (0v` U))(+v` W)(AS(T` B))) = ((0v` W)(+v` W)(AS(T` B))))
27	9, 11, 23	nv0lid 8197	. . . 4 |- ((W e. NrmCVec /\ (AS(T` B)) e. (Base` W)) -> ((0v` W)(+v` W)(AS(T` B))) = (AS(T` B)))
28		3simp2 787	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> W e. NrmCVec)
29	28	adantr 389	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> W e. NrmCVec)
30	9, 13	nvscl 8187	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ A e. CC /\ (T` B) e. (Base` W)) -> (AS(T` B)) e. (Base` W))
31		simprl 414	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> A e. CC)
32		ffvelrn 3799	. . . . . . 7 |- ((T:X-->(Base` W) /\ B e. X) -> (T` B) e. (Base` W))
33	1, 9, 14	lnof 8350	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->(Base` W))
34	32, 33	sylan 448	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ B e. X) -> (T` B) e. (Base` W))
35	34	adantrl 394	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> (T` B) e. (Base` W))
36	30, 29, 31, 35	syl3anc 856	. . . 4 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> (AS(T` B)) e. (Base` W))
37	27, 29, 36	sylanc 471	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> ((0v` W)(+v` W)(AS(T` B))) = (AS(T` B)))
38	26, 37	eqtrd 1499	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> ((T` (0v` U))(+v` W)(AS(T` B))) = (AS(T` B)))
39	16, 22, 38	3eqtr3d 1507	1 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. CC /\ B e. X)) -> (T` (ARB)) = (AS(T` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  Basecba 8143  .scns 8144  0vcn0v 8145   LnOp clno 8335

This theorem is referenced by:  nmlno0lem 8385  nmblolbii 8390  blocnilem 8395  ubthlem9 8468

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fo 3186  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-nm 8157  df-lno 8339

Copyright terms: Public domain