Theorem lnop0t 9806

Description: The value of a linear Hilbert space operator at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99.

Assertion

Ref	Expression
lnop0t	|- (T e. LinOp -> (T` 0h) = 0h)

Proof of Theorem lnop0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5241	. . . . . 6 |- 1 e. CC
2		ax-hv0cl 8794	. . . . . . . 8 |- 0h e. H~
3	2, 2	pm3.2i 285	. . . . . . 7 |- (0h e. H~ /\ 0h e. H~)
4		lnoplt 9754	. . . . . . 7 |- (((T e. LinOp /\ 1 e. CC) /\ (0h e. H~ /\ 0h e. H~)) -> (T` ((1 .h 0h) +h 0h)) = ((1 .h (T` 0h)) +h (T` 0h)))
5	3, 4	mpan2 694	. . . . . 6 |- ((T e. LinOp /\ 1 e. CC) -> (T` ((1 .h 0h) +h 0h)) = ((1 .h (T` 0h)) +h (T` 0h)))
6	1, 5	mpan2 694	. . . . 5 |- (T e. LinOp -> (T` ((1 .h 0h) +h 0h)) = ((1 .h (T` 0h)) +h (T` 0h)))
7	1, 2	hvmulcl 8805	. . . . . . . 8 |- (1 .h 0h) e. H~
8		ax-hvaddid 8795	. . . . . . . 8 |- ((1 .h 0h) e. H~ -> ((1 .h 0h) +h 0h) = (1 .h 0h))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((1 .h 0h) +h 0h) = (1 .h 0h)
10		ax-hvmulid 8797	. . . . . . . 8 |- (0h e. H~ -> (1 .h 0h) = 0h)
11	2, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (1 .h 0h) = 0h
12	9, 11	eqtr 1487	. . . . . 6 |- ((1 .h 0h) +h 0h) = 0h
13	12	fveq2i 3712	. . . . 5 |- (T` ((1 .h 0h) +h 0h)) = (T` 0h)
14	6, 13	syl5eqr 1513	. . . 4 |- (T e. LinOp -> (T` 0h) = ((1 .h (T` 0h)) +h (T` 0h)))
15		lnopft 9702	. . . . . . 7 |- (T e. LinOp -> T:H~-->H~)
16		ffvelrn 3799	. . . . . . . 8 |- ((T:H~-->H~ /\ 0h e. H~) -> (T` 0h) e. H~)
17	2, 16	mpan2 694	. . . . . . 7 |- (T:H~-->H~ -> (T` 0h) e. H~)
18	15, 17	syl 10	. . . . . 6 |- (T e. LinOp -> (T` 0h) e. H~)
19		ax-hvmulid 8797	. . . . . 6 |- ((T` 0h) e. H~ -> (1 .h (T` 0h)) = (T` 0h))
20	18, 19	syl 10	. . . . 5 |- (T e. LinOp -> (1 .h (T` 0h)) = (T` 0h))
21	20	opreq1d 3960	. . . 4 |- (T e. LinOp -> ((1 .h (T` 0h)) +h (T` 0h)) = ((T` 0h) +h (T` 0h)))
22	14, 21	eqtrd 1499	. . 3 |- (T e. LinOp -> (T` 0h) = ((T` 0h) +h (T` 0h)))
23	22	opreq1d 3960	. 2 |- (T e. LinOp -> ((T` 0h) -h (T` 0h)) = (((T` 0h) +h (T` 0h)) -h (T` 0h)))
24		hvsubidt 8816	. . 3 |- ((T` 0h) e. H~ -> ((T` 0h) -h (T` 0h)) = 0h)
25	18, 24	syl 10	. 2 |- (T e. LinOp -> ((T` 0h) -h (T` 0h)) = 0h)
26		hvpncant 8829	. . . 4 |- (((T` 0h) e. H~ /\ (T` 0h) e. H~) -> (((T` 0h) +h (T` 0h)) -h (T` 0h)) = (T` 0h))
27	26	anidms 434	. . 3 |- ((T` 0h) e. H~ -> (((T` 0h) +h (T` 0h)) -h (T` 0h)) = (T` 0h))
28	18, 27	syl 10	. 2 |- (T e. LinOp -> (((T` 0h) +h (T` 0h)) -h (T` 0h)) = (T` 0h))
29	23, 25, 28	3eqtr3rd 1508	1 |- (T e. LinOp -> (T` 0h) = 0h)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  1c1 5207  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  0hc0v 8730   -h cmv 8731  LinOpclo 8755

This theorem is referenced by:  lnopmult 9807  lnop0 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-hvsub 8779  df-lnop 9684

Copyright terms: Public domain