HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopcon Unicode version

Theorem lnopcon 22540
Description: A condition equivalent to " T is continuous" when  T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnopcon  |-  ( T  e.  LinOp  ->  ( T  e.  ConOp 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem lnopcon
StepHypRef Expression
1 eleq1 2316 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinOp ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T  e.  ConOp 
<->  if ( T  e. 
LinOp ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  e.  ConOp ) )
2 fveq1 5422 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinOp ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T `  y )  =  ( if ( T  e. 
LinOp ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
) `  y )
)
32fveq2d 5427 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinOp ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  ->  ( normh `  ( T `  y
) )  =  (
normh `  ( if ( T  e.  LinOp ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
) )
43breq1d 3973 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinOp ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) )  <-> 
( normh `  ( if ( T  e.  LinOp ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) ) )
54rexralbidv 2558 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinOp ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
)  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( T  e.  LinOp ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) ) )
61, 5bibi12d 314 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  LinOp ,  T , 
(  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( T  e.  ConOp  <->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( normh `  ( T `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )  <->  ( if ( T  e.  LinOp ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  ConOp  <->  E. x  e.  RR  A. y  e. 
~H  ( normh `  ( if ( T  e.  LinOp ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) ) `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) ) ) )
7 idlnop 22497 . . . 4  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp
87elimel 3558 . . 3  |-  if ( T  e.  LinOp ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp
98lnopconi 22539 . 2  |-  ( if ( T  e.  LinOp ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
ConOp 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( if ( T  e.  LinOp ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  y )
) )
106, 9dedth 3547 1  |-  ( T  e.  LinOp  ->  ( T  e.  ConOp 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   ifcif 3506   class class class wbr 3963    _I cid 4241    |` cres 4628   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   RRcr 8669    x. cmul 8675    <_ cle 8801   ~Hchil 21424   normhcno 21428   ConOpccop 21451   LinOpclo 21452
This theorem is referenced by:  lnopcnbd  22541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hvass 21507  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvmulass 21512  ax-hvdistr1 21513  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588  ax-his4 21589
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-grpo 20783  df-gid 20784  df-ablo 20874  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-nmcv 21081  df-hnorm 21473  df-hba 21474  df-hvsub 21476  df-nmop 22344  df-cnop 22345  df-lnop 22346  df-unop 22348
  Copyright terms: Public domain W3C validator