HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopconi Unicode version

Theorem lnopconi 23494
Description: A condition equivalent to " T is continuous" when  T is linear. Theorem 3.5(iii) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
lnopcon.1  |-  T  e. 
LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopconi  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, T

Proof of Theorem lnopconi
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopcon.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
2 nmcopex 23489 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp )  ->  ( normop `  T )  e.  RR )
31, 2mpan 652 . 2  |-  ( T  e.  ConOp  ->  ( normop `  T
)  e.  RR )
4 nmcoplb 23490 . . 3  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  T  e.  ConOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y
) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
) )
51, 4mp3an1 1266 . 2  |-  ( ( T  e.  ConOp  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) ) )
61lnopfi 23429 . . 3  |-  T : ~H
--> ~H
7 elcnop 23317 . . 3  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e.  ~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( normh `  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x
) ) )  < 
z ) ) )
86, 7mpbiran 885 . 2  |-  ( T  e.  ConOp 
<-> 
A. x  e.  ~H  A. z  e.  RR+  E. y  e.  RR+  A. w  e. 
~H  ( ( normh `  ( w  -h  x
) )  <  y  ->  ( normh `  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x
) ) )  < 
z ) )
96ffvelrni 5832 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( T `  y )  e.  ~H )
10 normcl 22584 . . 3  |-  ( ( T `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  e.  RR )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  y ) )  e.  RR )
121lnopsubi 23434 . 2  |-  ( ( w  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( T `  (
w  -h  x ) )  =  ( ( T `  w )  -h  ( T `  x ) ) )
133, 5, 8, 11, 12lnconi 23493 1  |-  ( T  e.  ConOp 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ~H  ( normh `  ( T `  y ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   class class class wbr 4176   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949    x. cmul 8955    < clt 9080    <_ cle 9081   RR+crp 10572   ~Hchil 22379   normhcno 22383    -h cmv 22385   normopcnop 22405   ConOpccop 22406   LinOpclo 22407
This theorem is referenced by:  lnopcon  23495  cnlnadjlem8  23534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hvcom 22461  ax-hvass 22462  ax-hv0cl 22463  ax-hvaddid 22464  ax-hfvmul 22465  ax-hvmulid 22466  ax-hvmulass 22467  ax-hvdistr1 22468  ax-hvdistr2 22469  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his1 22541  ax-his2 22542  ax-his3 22543  ax-his4 22544
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-grpo 21736  df-gid 21737  df-ablo 21827  df-vc 21982  df-nv 22028  df-va 22031  df-ba 22032  df-sm 22033  df-0v 22034  df-nmcv 22036  df-hnorm 22428  df-hba 22429  df-hvsub 22431  df-nmop 23299  df-cnop 23300  df-lnop 23301  df-unop 23303
  Copyright terms: Public domain W3C validator