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Theorem lnophm 22595
Description: A linear operator is Hermitian if  x  .ih  ( T `  x ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnophm  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  ->  T  e.  HrmOp )
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem lnophm
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2344 . 2  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T  e.  HrmOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  HrmOp ) )
2 eleq1 2344 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T  e.  LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp ) )
3 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
4 fveq2 5486 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
53, 4oveq12d 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  ( T `  y )
) )
65eleq1d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .ih  ( T `  x )
)  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( T `  y
) )  e.  RR ) )
76cbvralv 2765 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( T `  y )
)  e.  RR )
8 fveq1 5485 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)
98oveq2d 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( y  .ih  ( T `  y
) )  =  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
) )
109eleq1d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  ( T `  y ) )  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1110ralbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( T `  y ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
127, 11syl5bb 248 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
132, 12anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) ) )
14 eleq1 2344 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (  _I  |`  ~H )  e. 
LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp ) )
15 fveq1 5485 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (  _I  |`  ~H ) `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)
1615oveq2d 5836 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
) )
1716eleq1d 2350 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1817ralbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1914, 18anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
(  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) ) )
20 idlnop 22568 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp
21 fvresi 5673 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
(  _I  |`  ~H ) `  y )  =  y )
2221oveq2d 5836 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
23 hiidrcl 21670 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  y )  e.  RR )
2422, 23eqeltrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )
2524rgen 2609 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR
2620, 25pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )
2713, 19, 26elimhyp 3614 . . . 4  |-  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR )
2827simpli 444 . . 3  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\ 
A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp
2927simpri 448 . . 3  |-  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR
3028, 29lnophmi 22594 . 2  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\ 
A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
HrmOp
311, 30dedth 3607 1  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  ->  T  e.  HrmOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544   ifcif 3566    _I cid 4303    |` cres 4690   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   RRcr 8732   ~Hchil 21495    .ih csp 21498   LinOpclo 21523   HrmOpcho 21526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-hilex 21575  ax-hfvadd 21576  ax-hvcom 21577  ax-hvass 21578  ax-hv0cl 21579  ax-hvaddid 21580  ax-hfvmul 21581  ax-hvmulid 21582  ax-hvmulass 21583  ax-hvdistr1 21584  ax-hvdistr2 21585  ax-hvmul0 21586  ax-hfi 21654  ax-his1 21657  ax-his2 21658  ax-his3 21659  ax-his4 21660
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-hvsub 21547  df-lnop 22417  df-unop 22419  df-hmop 22420
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