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Theorem lnophm 22560
Description: A linear operator is Hermitian if  x  .ih  ( T `  x ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnophm  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  ->  T  e.  HrmOp )
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem lnophm
StepHypRef Expression
1 eleq1 2318 . 2  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T  e.  HrmOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  HrmOp ) )
2 eleq1 2318 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T  e.  LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp ) )
3 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
4 fveq2 5458 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
53, 4oveq12d 5810 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  ( T `  y )
) )
65eleq1d 2324 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .ih  ( T `  x )
)  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( T `  y
) )  e.  RR ) )
76cbvralv 2739 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( T `  y )
)  e.  RR )
8 fveq1 5457 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)
98oveq2d 5808 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( y  .ih  ( T `  y
) )  =  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
) )
109eleq1d 2324 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  ( T `  y ) )  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1110ralbidv 2538 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( T `  y ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
127, 11syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
132, 12anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) ) )
14 eleq1 2318 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (  _I  |`  ~H )  e. 
LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp ) )
15 fveq1 5457 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (  _I  |`  ~H ) `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)
1615oveq2d 5808 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
) )
1716eleq1d 2324 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1817ralbidv 2538 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1914, 18anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
(  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) ) )
20 idlnop 22533 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp
21 fvresi 5645 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
(  _I  |`  ~H ) `  y )  =  y )
2221oveq2d 5808 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
23 hiidrcl 21635 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  y )  e.  RR )
2422, 23eqeltrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )
2524rgen 2583 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR
2620, 25pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )
2713, 19, 26elimhyp 3587 . . . 4  |-  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR )
2827simpli 446 . . 3  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\ 
A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp
2927simpri 450 . . 3  |-  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR
3028, 29lnophmi 22559 . 2  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\ 
A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
HrmOp
311, 30dedth 3580 1  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  ->  T  e.  HrmOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   ifcif 3539    _I cid 4276    |` cres 4663   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   RRcr 8704   ~Hchil 21460    .ih csp 21463   LinOpclo 21488   HrmOpcho 21491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-hilex 21540  ax-hfvadd 21541  ax-hvcom 21542  ax-hvass 21543  ax-hv0cl 21544  ax-hvaddid 21545  ax-hfvmul 21546  ax-hvmulid 21547  ax-hvmulass 21548  ax-hvdistr1 21549  ax-hvdistr2 21550  ax-hvmul0 21551  ax-hfi 21619  ax-his1 21622  ax-his2 21623  ax-his3 21624  ax-his4 21625
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-hvsub 21512  df-lnop 22382  df-unop 22384  df-hmop 22385
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