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Theorem lnophm 22524
Description: A linear operator is Hermitian if  x  .ih  ( T `  x ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnophm  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  ->  T  e.  HrmOp )
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem lnophm
StepHypRef Expression
1 eleq1 2316 . 2  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T  e.  HrmOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  HrmOp ) )
2 eleq1 2316 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T  e.  LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp ) )
3 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
4 fveq2 5423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( T `  x )  =  ( T `  y ) )
53, 4oveq12d 5775 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .ih  ( T `  x ) )  =  ( y  .ih  ( T `  y )
) )
65eleq1d 2322 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .ih  ( T `  x )
)  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( T `  y
) )  e.  RR ) )
76cbvralv 2717 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( T `  y )
)  e.  RR )
8 fveq1 5422 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( T `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)
98oveq2d 5773 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( y  .ih  ( T `  y
) )  =  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
) )
109eleq1d 2322 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  ( T `  y ) )  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1110ralbidv 2534 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( T `  y ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
127, 11syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
132, 12anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) ) )
14 eleq1 2316 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (  _I  |`  ~H )  e. 
LinOp 
<->  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp ) )
15 fveq1 5422 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (  _I  |`  ~H ) `  y )  =  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)
1615oveq2d 5773 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
) )
1716eleq1d 2322 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR  <->  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1817ralbidv 2534 . . . . . 6  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR  <->  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) )
1914, 18anbi12d 694 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ~H )  =  if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  ->  ( (
(  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )  <->  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR ) ) )
20 idlnop 22497 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp
21 fvresi 5610 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
(  _I  |`  ~H ) `  y )  =  y )
2221oveq2d 5773 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  =  ( y  .ih  y
) )
23 hiidrcl 21599 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  y )  e.  RR )
2422, 23eqeltrd 2330 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )
2524rgen 2579 . . . . . 6  |-  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR
2620, 25pm3.2i 443 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ~H )  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( (  _I  |`  ~H ) `  y ) )  e.  RR )
2713, 19, 26elimhyp 3554 . . . 4  |-  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
)  e.  LinOp  /\  A. y  e.  ~H  (
y  .ih  ( if ( ( T  e. 
LinOp  /\  A. x  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR )
2827simpli 446 . . 3  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\ 
A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
LinOp
2927simpri 450 . . 3  |-  A. y  e.  ~H  ( y  .ih  ( if ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H )
) `  y )
)  e.  RR
3028, 29lnophmi 22523 . 2  |-  if ( ( T  e.  LinOp  /\ 
A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 x ) )  e.  RR ) ,  T ,  (  _I  |`  ~H ) )  e. 
HrmOp
311, 30dedth 3547 1  |-  ( ( T  e.  LinOp  /\  A. x  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR )  ->  T  e.  HrmOp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   ifcif 3506    _I cid 4241    |` cres 4628   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   RRcr 8669   ~Hchil 21424    .ih csp 21427   LinOpclo 21452   HrmOpcho 21455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hvass 21507  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvmulass 21512  ax-hvdistr1 21513  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588  ax-his4 21589
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-hvsub 21476  df-lnop 22346  df-unop 22348  df-hmop 22349
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