HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophmi Unicode version

Theorem lnophmi 22523
Description: A linear operator is Hermitian if  x  .ih  ( T `  x ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophm.1  |-  T  e. 
LinOp
lnophm.2  |-  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lnophmi  |-  T  e. 
HrmOp
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem lnophmi
StepHypRef Expression
1 lnophm.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 22474 . 2  |-  T : ~H
--> ~H
3 oveq1 5764 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) ) )
4 fveq2 5423 . . . . . 6  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( T `  y
)  =  ( T `
 if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) ) )
54oveq1d 5772 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( T `  y )  .ih  z
)  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )
)  .ih  z )
)
63, 5eqeq12d 2270 . . . 4  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( y  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
) ) )
7 fveq2 5423 . . . . . 6  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( T `  z
)  =  ( T `
 if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )
87oveq2d 5773 . . . . 5  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) )  =  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) ) )
9 oveq2 5765 . . . . 5  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
)  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )
)  .ih  if (
z  e.  ~H , 
z ,  0h )
) )
108, 9eqeq12d 2270 . . . 4  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( ( if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  .ih  ( T `  z
) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
)  <->  ( if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) ) )
11 ax-hv0cl 21508 . . . . . 6  |-  0h  e.  ~H
1211elimel 3558 . . . . 5  |-  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  e.  ~H
1311elimel 3558 . . . . 5  |-  if ( z  e.  ~H , 
z ,  0h )  e.  ~H
14 lnophm.2 . . . . 5  |-  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR
1512, 13, 1, 14lnophmlem2 22522 . . . 4  |-  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) )
166, 10, 15dedth2h 3548 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) )
1716rgen2a 2580 . 2  |-  A. y  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( y  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )
18 elhmop 22378 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) ) )
192, 17, 18mpbir2an 891 1  |-  T  e. 
HrmOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   ifcif 3506   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   RRcr 8669   ~Hchil 21424    .ih csp 21427   0hc0v 21429   LinOpclo 21452   HrmOpcho 21455
This theorem is referenced by:  lnophm  22524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-hilex 21504  ax-hfvadd 21505  ax-hvcom 21506  ax-hvass 21507  ax-hv0cl 21508  ax-hvaddid 21509  ax-hfvmul 21510  ax-hvmulid 21511  ax-hvmulass 21512  ax-hvdistr1 21513  ax-hvdistr2 21514  ax-hvmul0 21515  ax-hfi 21583  ax-his1 21586  ax-his2 21587  ax-his3 21588
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-iota 6190  df-riota 6237  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-hvsub 21476  df-lnop 22346  df-hmop 22349
  Copyright terms: Public domain W3C validator