HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophmi Unicode version

Theorem lnophmi 22614
Description: A linear operator is Hermitian if  x  .ih  ( T `  x ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophm.1  |-  T  e. 
LinOp
lnophm.2  |-  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lnophmi  |-  T  e. 
HrmOp
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem lnophmi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnophm.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 22565 . 2  |-  T : ~H
--> ~H
3 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) ) )
4 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( T `  y
)  =  ( T `
 if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) ) )
54oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( T `  y )  .ih  z
)  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )
)  .ih  z )
)
63, 5eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( y  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
) ) )
7 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( T `  z
)  =  ( T `
 if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )
87oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) )  =  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) ) )
9 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
)  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )
)  .ih  if (
z  e.  ~H , 
z ,  0h )
) )
108, 9eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( ( if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  .ih  ( T `  z
) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
)  <->  ( if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) ) )
11 ax-hv0cl 21599 . . . . . 6  |-  0h  e.  ~H
1211elimel 3630 . . . . 5  |-  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  e.  ~H
1311elimel 3630 . . . . 5  |-  if ( z  e.  ~H , 
z ,  0h )  e.  ~H
14 lnophm.2 . . . . 5  |-  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR
1512, 13, 1, 14lnophmlem2 22613 . . . 4  |-  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) )
166, 10, 15dedth2h 3620 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) )
1716rgen2a 2622 . 2  |-  A. y  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( y  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )
18 elhmop 22469 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) ) )
192, 17, 18mpbir2an 886 1  |-  T  e. 
HrmOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ifcif 3578   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   ~Hchil 21515    .ih csp 21518   0hc0v 21520   LinOpclo 21543   HrmOpcho 21546
This theorem is referenced by:  lnophm  22615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-hvsub 21567  df-lnop 22437  df-hmop 22440
  Copyright terms: Public domain W3C validator