HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophmi Unicode version

Theorem lnophmi 22544
Description: A linear operator is Hermitian if  x  .ih  ( T `  x ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophm.1  |-  T  e. 
LinOp
lnophm.2  |-  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lnophmi  |-  T  e. 
HrmOp
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem lnophmi
StepHypRef Expression
1 lnophm.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 22495 . 2  |-  T : ~H
--> ~H
3 oveq1 5785 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) ) )
4 fveq2 5444 . . . . . 6  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( T `  y
)  =  ( T `
 if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) ) )
54oveq1d 5793 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( T `  y )  .ih  z
)  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )
)  .ih  z )
)
63, 5eqeq12d 2270 . . . 4  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( y  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
) ) )
7 fveq2 5444 . . . . . 6  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( T `  z
)  =  ( T `
 if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )
87oveq2d 5794 . . . . 5  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) )  =  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) ) )
9 oveq2 5786 . . . . 5  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
)  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )
)  .ih  if (
z  e.  ~H , 
z ,  0h )
) )
108, 9eqeq12d 2270 . . . 4  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( ( if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  .ih  ( T `  z
) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
)  <->  ( if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) ) )
11 ax-hv0cl 21529 . . . . . 6  |-  0h  e.  ~H
1211elimel 3577 . . . . 5  |-  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  e.  ~H
1311elimel 3577 . . . . 5  |-  if ( z  e.  ~H , 
z ,  0h )  e.  ~H
14 lnophm.2 . . . . 5  |-  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR
1512, 13, 1, 14lnophmlem2 22543 . . . 4  |-  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) )
166, 10, 15dedth2h 3567 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) )
1716rgen2a 2582 . 2  |-  A. y  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( y  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )
18 elhmop 22399 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) ) )
192, 17, 18mpbir2an 891 1  |-  T  e. 
HrmOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   ifcif 3525   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   RRcr 8690   ~Hchil 21445    .ih csp 21448   0hc0v 21450   LinOpclo 21473   HrmOpcho 21476
This theorem is referenced by:  lnophm  22545
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-hilex 21525  ax-hfvadd 21526  ax-hvcom 21527  ax-hvass 21528  ax-hv0cl 21529  ax-hvaddid 21530  ax-hfvmul 21531  ax-hvmulid 21532  ax-hvmulass 21533  ax-hvdistr1 21534  ax-hvdistr2 21535  ax-hvmul0 21536  ax-hfi 21604  ax-his1 21607  ax-his2 21608  ax-his3 21609
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-iota 6211  df-riota 6258  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-hvsub 21497  df-lnop 22367  df-hmop 22370
  Copyright terms: Public domain W3C validator