HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnophmi Unicode version

Theorem lnophmi 22590
Description: A linear operator is Hermitian if  x  .ih  ( T `  x ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnophm.1  |-  T  e. 
LinOp
lnophm.2  |-  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lnophmi  |-  T  e. 
HrmOp
Distinct variable group:    x, T
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem lnophmi
StepHypRef Expression
1 lnophm.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 22541 . 2  |-  T : ~H
--> ~H
3 oveq1 5826 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) ) )
4 fveq2 5485 . . . . . 6  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( T `  y
)  =  ( T `
 if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) ) )
54oveq1d 5834 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( T `  y )  .ih  z
)  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )
)  .ih  z )
)
63, 5eqeq12d 2298 . . . 4  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( y  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )  <->  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
) ) )
7 fveq2 5485 . . . . . 6  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( T `  z
)  =  ( T `
 if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )
87oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  z ) )  =  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) ) )
9 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
)  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )
)  .ih  if (
z  e.  ~H , 
z ,  0h )
) )
108, 9eqeq12d 2298 . . . 4  |-  ( z  =  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h )  -> 
( ( if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  .ih  ( T `  z
) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  z
)  <->  ( if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) ) )
11 ax-hv0cl 21575 . . . . . 6  |-  0h  e.  ~H
1211elimel 3618 . . . . 5  |-  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  e.  ~H
1311elimel 3618 . . . . 5  |-  if ( z  e.  ~H , 
z ,  0h )  e.  ~H
14 lnophm.2 . . . . 5  |-  A. x  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `  x ) )  e.  RR
1512, 13, 1, 14lnophmlem2 22589 . . . 4  |-  ( if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  .ih  ( T `  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) ) )  =  ( ( T `  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) )  .ih  if ( z  e.  ~H ,  z ,  0h ) )
166, 10, 15dedth2h 3608 . . 3  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) )
1716rgen2a 2610 . 2  |-  A. y  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( y  .ih  ( T `  z ) )  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z )
18 elhmop 22445 . 2  |-  ( T  e.  HrmOp 
<->  ( T : ~H --> ~H  /\  A. y  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( y  .ih  ( T `  z )
)  =  ( ( T `  y ) 
.ih  z ) ) )
192, 17, 18mpbir2an 888 1  |-  T  e. 
HrmOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   ifcif 3566   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   RRcr 8731   ~Hchil 21491    .ih csp 21494   0hc0v 21496   LinOpclo 21519   HrmOpcho 21522
This theorem is referenced by:  lnophm  22591
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-hilex 21571  ax-hfvadd 21572  ax-hvcom 21573  ax-hvass 21574  ax-hv0cl 21575  ax-hvaddid 21576  ax-hfvmul 21577  ax-hvmulid 21578  ax-hvmulass 21579  ax-hvdistr1 21580  ax-hvdistr2 21581  ax-hvmul0 21582  ax-hfi 21650  ax-his1 21653  ax-his2 21654  ax-his3 21655
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-iota 6252  df-riota 6299  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-hvsub 21543  df-lnop 22413  df-hmop 22416
  Copyright terms: Public domain W3C validator