Theorem lnophmt 9900

Description: A linear operator is Hermitian if x .ih (T` x) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195.

Assertion

Ref	Expression
lnophmt	|- ((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR) -> T e. HrmOp)

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem lnophmt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1532	. 2 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (T e. HrmOp <-> if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. HrmOp))
2		eleq1 1532	. . . . . 6 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (T e. LinOp <-> if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp))
3		fveq1 3718	. . . . . . . . . 10 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (T` y) = (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y))
4	3	opreq2d 3971	. . . . . . . . 9 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (y .ih (T` y)) = (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)))
5	4	eleq1d 1538	. . . . . . . 8 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> ((y .ih (T` y)) e. RR <-> (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR))
6	5	ralbidv 1661	. . . . . . 7 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (A.y e. H~ (y .ih (T` y)) e. RR <-> A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR))
7		id 59	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> x = y)
8		fveq2 3719	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (T` x) = (T` y))
9	7, 8	opreq12d 3973	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (x .ih (T` x)) = (y .ih (T` y)))
10	9	eleq1d 1538	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ((x .ih (T` x)) e. RR <-> (y .ih (T` y)) e. RR))
11	10	cbvralv 1797	. . . . . . 7 |- (A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR <-> A.y e. H~ (y .ih (T` y)) e. RR)
12	6, 11	syl5bb 531	. . . . . 6 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR <-> A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR))
13	2, 12	anbi12d 627	. . . . 5 |- (T = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> ((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR) <-> (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp /\ A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR)))
14		eleq1 1532	. . . . . 6 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> ((I |` H~) e. LinOp <-> if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp))
15		fveq1 3718	. . . . . . . . 9 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> ((I |` H~)` y) = (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y))
16	15	opreq2d 3971	. . . . . . . 8 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (y .ih ((I |` H~)` y)) = (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)))
17	16	eleq1d 1538	. . . . . . 7 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> ((y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR <-> (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR))
18	17	ralbidv 1661	. . . . . 6 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (A.y e. H~ (y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR <-> A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR))
19	14, 18	anbi12d 627	. . . . 5 |- ((I |` H~) = if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) -> (((I |` H~) e. LinOp /\ A.y e. H~ (y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR) <-> (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp /\ A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR)))
20		idlnop 9873	. . . . . 6 |- (I |` H~) e. LinOp
21		fvresi 3838	. . . . . . . . 9 |- (y e. H~ -> ((I |` H~)` y) = y)
22	21	opreq2d 3971	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> (y .ih ((I |` H~)` y)) = (y .ih y))
23		hiidrclt 8916	. . . . . . . 8 |- (y e. H~ -> (y .ih y) e. RR)
24	22, 23	eqeltrd 1546	. . . . . . 7 |- (y e. H~ -> (y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR)
25	24	rgen 1696	. . . . . 6 |- A.y e. H~ (y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR
26	20, 25	pm3.2i 285	. . . . 5 |- ((I |` H~) e. LinOp /\ A.y e. H~ (y .ih ((I |` H~)` y)) e. RR)
27	13, 19, 26	elimhyp 2387	. . . 4 |- (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp /\ A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR)
28	27	pm3.26i 320	. . 3 |- if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. LinOp
29	27	pm3.27i 324	. . 3 |- A.y e. H~ (y .ih (if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~))` y)) e. RR
30	28, 29	lnophm 9899	. 2 |- if((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR), T, (I |` H~)) e. HrmOp
31	1, 30	dedth 2380	1 |- ((T e. LinOp /\ A.x e. H~ (x .ih (T` x)) e. RR) -> T e. HrmOp)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643  ifcif 2358  Icid 2827   |` cres 3168  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  RRcr 5216  H~chil 8743   .ih csp 8748  LinOpclo 8771  HrmOpcho 8774

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hvcom 8826  ax-hvass 8827  ax-hv0cl 8828  ax-hvaddid 8829  ax-hfvmul 8830  ax-hvmulid 8831  ax-hvmulass 8832  ax-hvdistr1 8833  ax-hvdistr2 8834  ax-hvmul0 8835  ax-hfi 8901  ax-his1 8904  ax-his2 8905  ax-his3 8906  ax-his4 8907

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni