Theorem lnopmult 9886

Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space operator.

Assertion

Ref	Expression
lnopmult	|- ((T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. H~) -> (T` (A .h B)) = (A .h (T` B)))

Proof of Theorem lnopmult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 8868	. . . 4 |- 0h e. H~
2		lnoplt 9833	. . . 4 |- (((T e. LinOp /\ A e. CC) /\ (B e. H~ /\ 0h e. H~)) -> (T` ((A .h B) +h 0h)) = ((A .h (T` B)) +h (T` 0h)))
3	1, 2	mpanr2 712	. . 3 |- (((T e. LinOp /\ A e. CC) /\ B e. H~) -> (T` ((A .h B) +h 0h)) = ((A .h (T` B)) +h (T` 0h)))
4	3	3impa 830	. 2 |- ((T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. H~) -> (T` ((A .h B) +h 0h)) = ((A .h (T` B)) +h (T` 0h)))
5		hvmulclt 8878	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> (A .h B) e. H~)
6		ax-hvaddid 8869	. . . . 5 |- ((A .h B) e. H~ -> ((A .h B) +h 0h) = (A .h B))
7	5, 6	syl 10	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> ((A .h B) +h 0h) = (A .h B))
8	7	3adant1 799	. . 3 |- ((T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. H~) -> ((A .h B) +h 0h) = (A .h B))
9	8	fveq2d 3734	. 2 |- ((T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. H~) -> (T` ((A .h B) +h 0h)) = (T` (A .h B)))
10		lnop0t 9885	. . . . 5 |- (T e. LinOp -> (T` 0h) = 0h)
11	10	opreq2d 3982	. . . 4 |- (T e. LinOp -> ((A .h (T` B)) +h (T` 0h)) = ((A .h (T` B)) +h 0h))
12	11	3ad2ant1 802	. . 3 |- ((T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. H~) -> ((A .h (T` B)) +h (T` 0h)) = ((A .h (T` B)) +h 0h))
13		hvmulclt 8878	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ (T` B) e. H~) -> (A .h (T` B)) e. H~)
14		ffvelrn 3820	. . . . . . . 8 |- ((T:H~-->H~ /\ B e. H~) -> (T` B) e. H~)
15		lnopft 9780	. . . . . . . 8 |- (T e. LinOp -> T:H~-->H~)
16	14, 15	sylan 450	. . . . . . 7 |- ((T e. LinOp /\ B e. H~) -> (T` B) e. H~)
17	13, 16	sylan2 453	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (T e. LinOp /\ B e. H~)) -> (A .h (T` B)) e. H~)
18	17	3impb 831	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ T e. LinOp /\ B e. H~) -> (A .h (T` B)) e. H~)
19	18	3com12 839	. . . 4 |- ((T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. H~) -> (A .h (T` B)) e. H~)
20		ax-hvaddid 8869	. . . 4 |- ((A .h (T` B)) e. H~ -> ((A .h (T` B)) +h 0h) = (A .h (T` B)))
21	19, 20	syl 10	. . 3 |- ((T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. H~) -> ((A .h (T` B)) +h 0h) = (A .h (T` B)))
22	12, 21	eqtrd 1510	. 2 |- ((T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. H~) -> ((A .h (T` B)) +h (T` 0h)) = (A .h (T` B)))
23	4, 9, 22	3eqtr3d 1518	1 |- ((T e. LinOp /\ A e. CC /\ B e. H~) -> (T` (A .h B)) = (A .h (T` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  H~chil 8783   +h cva 8784   .h csm 8785  0hc0v 8786  LinOpclo 8811

This theorem is referenced by:  lnopmul 9891  homco2t 9896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-hvsub 8835  df-lnop 9762

Copyright terms: Public domain