HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopunii Unicode version

Theorem lnopunii 23472
Description: If a linear operator (whose range is  ~H) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73. (Contributed by NM, 23-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopuni.1  |-  T  e. 
LinOp
lnopuni.2  |-  T : ~H -onto-> ~H
lnopuni.3  |-  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )
Assertion
Ref Expression
lnopunii  |-  T  e. 
UniOp
Distinct variable group:    x, T

Proof of Theorem lnopunii
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopuni.2 . 2  |-  T : ~H -onto-> ~H
2 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  ->  ( T `  x )  =  ( T `  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )
) )
32oveq1d 6059 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  ->  (
( T `  x
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  y ) ) )
4 oveq1 6051 . . . . 5  |-  ( x  =  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  ->  (
x  .ih  y )  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  y ) )
53, 4eqeq12d 2422 . . . 4  |-  ( x  =  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  ->  (
( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y )  <->  ( ( T `  if (
x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  y
) ) )
6 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( T `  y
)  =  ( T `
 if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h ) ) )
76oveq2d 6060 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( T `  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( T `  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) ) ) )
8 oveq2 6052 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  y
)  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) ) )
97, 8eqeq12d 2422 . . . 4  |-  ( y  =  if ( y  e.  ~H ,  y ,  0h )  -> 
( ( ( T `
 if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h ) )  .ih  ( T `  y ) )  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  y )  <->  ( ( T `  if (
x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) ) )  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) ) ) )
10 lnopuni.1 . . . . 5  |-  T  e. 
LinOp
11 lnopuni.3 . . . . 5  |-  A. x  e.  ~H  ( normh `  ( T `  x )
)  =  ( normh `  x )
12 ax-hv0cl 22463 . . . . . 6  |-  0h  e.  ~H
1312elimel 3755 . . . . 5  |-  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  e.  ~H
1412elimel 3755 . . . . 5  |-  if ( y  e.  ~H , 
y ,  0h )  e.  ~H
1510, 11, 13, 14lnopunilem2 23471 . . . 4  |-  ( ( T `  if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )
)  .ih  ( T `  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) ) )  =  ( if ( x  e.  ~H ,  x ,  0h )  .ih  if ( y  e. 
~H ,  y ,  0h ) )
165, 9, 15dedth2h 3745 . . 3  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) )
1716rgen2a 2736 . 2  |-  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  ( T `  y ) )  =  ( x 
.ih  y )
18 elunop 23332 . 2  |-  ( T  e.  UniOp 
<->  ( T : ~H -onto-> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  ( T `  y )
)  =  ( x 
.ih  y ) ) )
191, 17, 18mpbir2an 887 1  |-  T  e. 
UniOp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   ifcif 3703   -onto->wfo 5415   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   ~Hchil 22379    .ih csp 22382   normhcno 22383   0hc0v 22384   LinOpclo 22407   UniOpcuo 22409
This theorem is referenced by:  elunop2  23473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-hilex 22459  ax-hfvadd 22460  ax-hv0cl 22463  ax-hfvmul 22465  ax-hvmul0 22470  ax-hfi 22538  ax-his1 22541  ax-his2 22542  ax-his3 22543  ax-his4 22544
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-hnorm 22428  df-lnop 23301  df-unop 23303
  Copyright terms: Public domain W3C validator