Theorem lnopunilem2 9927

Description: Lemma for lnopuni 9928.

Hypotheses

Ref	Expression
lnopunilem.1	|- T e. LinOp
lnopunilem.2	|- A.x e. H~ (normh` (T` x)) = (normh` x)
lnopunilem.3	|- A e. H~
lnopunilem.4	|- B e. H~

Assertion

Ref	Expression
lnopunilem2	|- ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B)

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem lnopunilem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3965	. . . . . 6 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (y x. ((T` A) .ih (T` B))) = (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B))))
2	1	fveq2d 3725	. . . . 5 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B)))))
3		opreq1 3965	. . . . . 6 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (y x. (A .ih B)) = (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B)))
4	3	fveq2d 3725	. . . . 5 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> (Re` (y x. (A .ih B))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B))))
5	2, 4	eqeq12d 1488	. . . 4 |- (y = if(y e. CC, y, 0) -> ((Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))) <-> (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B)))))
6		lnopunilem.1	. . . . 5 |- T e. LinOp
7		lnopunilem.2	. . . . 5 |- A.x e. H~ (normh` (T` x)) = (normh` x)
8		lnopunilem.3	. . . . 5 |- A e. H~
9		lnopunilem.4	. . . . 5 |- B e. H~
10		0cn 5315	. . . . . 6 |- 0 e. CC
11	10	elimel 2392	. . . . 5 |- if(y e. CC, y, 0) e. CC
12	6, 7, 8, 9, 11	lnopunilem1 9926	. . . 4 |- (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (if(y e. CC, y, 0) x. (A .ih B)))
13	5, 12	dedth 2381	. . 3 |- (y e. CC -> (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))))
14	13	rgen 1697	. 2 |- A.y e. CC (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B)))
15	6	lnopf 9884	. . . . . 6 |- T:H~-->H~
16	15	ffvelrni 3812	. . . . 5 |- (A e. H~ -> (T` A) e. H~)
17	8, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- (T` A) e. H~
18	15	ffvelrni 3812	. . . . 5 |- (B e. H~ -> (T` B) e. H~)
19	9, 18	ax-mp 7	. . . 4 |- (T` B) e. H~
20	17, 19	hicl 8932	. . 3 |- ((T` A) .ih (T` B)) e. CC
21	8, 9	hicl 8932	. . 3 |- (A .ih B) e. CC
22		recant 6870	. . 3 |- ((((T` A) .ih (T` B)) e. CC /\ (A .ih B) e. CC) -> (A.y e. CC (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))) <-> ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B)))
23	20, 21, 22	mp2an 696	. 2 |- (A.y e. CC (Re` (y x. ((T` A) .ih (T` B)))) = (Re` (y x. (A .ih B))) <-> ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B))
24	14, 23	mpbi 189	1 |- ((T` A) .ih (T` B)) = (A .ih B)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644  ifcif 2359  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219  0cc0 5221   x. cmul 5226  Recre 6699  H~chil 8772   .ih csp 8777  normhcno 8778  LinOpclo 8800

This theorem is referenced by:  lnopuni 9928

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612  ax-hilex 8853  ax-hfvadd 8854  ax-hv0cl 8857  ax-hfvmul 8859  ax-hvmul0 8864  ax-hfi 8930  ax-his1 8933  ax-his2 8934  ax-his3 8935  ax-his4 8936

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-n0 6061  df-z 6097  df-seq1 6263  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-hnorm 8821  df-lnop 9758

Copyright terms: Public domain