Theorem lnosub 8416

Description: Subtraction property of a linear operator.

Hypotheses

Ref	Expression
lnosub.1	|- X = (Base` U)
lnosub.5	|- M = (-v` U)
lnosub.6	|- N = (-v` W)
lnosub.7	|- L = (U LnOp W)

Assertion

Ref	Expression
lnosub	|- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (T` (AMB)) = ((T` A)N(T` B)))

Proof of Theorem lnosub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5281	. . . 4 |- 1 e. CC
2	1	negcl 5381	. . 3 |- -u1 e. CC
3		lnosub.1	. . . 4 |- X = (Base` U)
4		eqid 1478	. . . 4 |- (Base` W) = (Base` W)
5		eqid 1478	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
6		eqid 1478	. . . 4 |- (+v` W) = (+v` W)
7		eqid 1478	. . . 4 |- (.s` U) = (.s` U)
8		eqid 1478	. . . 4 |- (.s` W) = (.s` W)
9		lnosub.7	. . . 4 |- L = (U LnOp W)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	lnolin 8411	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. X /\ -u1 e. CC /\ B e. X)) -> (T` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) = ((T` A)(+v` W)(-u1(.s` W)(T` B))))
11	2, 10	mp3anr2 916	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (T` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))) = ((T` A)(+v` W)(-u1(.s` W)(T` B))))
12		lnosub.5	. . . . . 6 |- M = (-v` U)
13	3, 5, 7, 12	nvmval 8259	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
14	13	3expb 836	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (AMB) = (A(+v` U)(-u1(.s` U)B)))
15	14	fveq2d 3734	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (T` (AMB)) = (T` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))))
16	15	3ad2antl1 811	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (T` (AMB)) = (T` (A(+v` U)(-u1(.s` U)B))))
17		ffvelrn 3820	. . . . . 6 |- ((T:X-->(Base` W) /\ A e. X) -> (T` A) e. (Base` W))
18		ffvelrn 3820	. . . . . 6 |- ((T:X-->(Base` W) /\ B e. X) -> (T` B) e. (Base` W))
19	17, 18	anim12i 333	. . . . 5 |- (((T:X-->(Base` W) /\ A e. X) /\ (T:X-->(Base` W) /\ B e. X)) -> ((T` A) e. (Base` W) /\ (T` B) e. (Base` W)))
20	19	anandis 514	. . . 4 |- ((T:X-->(Base` W) /\ (A e. X /\ B e. X)) -> ((T` A) e. (Base` W) /\ (T` B) e. (Base` W)))
21	3, 4, 9	lnof 8412	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) -> T:X-->(Base` W))
22	20, 21	sylan 450	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. X /\ B e. X)) -> ((T` A) e. (Base` W) /\ (T` B) e. (Base` W)))
23		lnosub.6	. . . . . 6 |- N = (-v` W)
24	4, 6, 8, 23	nvmval 8259	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ (T` A) e. (Base` W) /\ (T` B) e. (Base` W)) -> ((T` A)N(T` B)) = ((T` A)(+v` W)(-u1(.s` W)(T` B))))
25	24	3expb 836	. . . 4 |- ((W e. NrmCVec /\ ((T` A) e. (Base` W) /\ (T` B) e. (Base` W))) -> ((T` A)N(T` B)) = ((T` A)(+v` W)(-u1(.s` W)(T` B))))
26	25	3ad2antl2 812	. . 3 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ ((T` A) e. (Base` W) /\ (T` B) e. (Base` W))) -> ((T` A)N(T` B)) = ((T` A)(+v` W)(-u1(.s` W)(T` B))))
27	22, 26	syldan 469	. 2 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. X /\ B e. X)) -> ((T` A)N(T` B)) = ((T` A)(+v` W)(-u1(.s` W)(T` B))))
28	11, 16, 27	3eqtr4d 1520	1 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L) /\ (A e. X /\ B e. X)) -> (T` (AMB)) = ((T` A)N(T` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247  -ucneg 5305  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  -vcnsb 8204   LnOp clno 8397

This theorem is referenced by:  nvcnpi3 8418  nvcnpi4 8419  blometi 8459  ubthlem11 8535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-lno 8401

Copyright terms: Public domain