MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1const Structured version   Unicode version

Theorem lo1const 12406
Description: A constant function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lo1const  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem lo1const
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
2 simplr 732 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
3 simpr 448 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
4 leid 9161 . . 3  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  B )
54ad2antlr 708 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( x  e.  A  /\  B  <_  x ) )  ->  B  <_  B )
61, 2, 3, 3, 5ello1d 12309 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   RRcr 8981    <_ cle 9113   <_ O ( 1 )clo1 12273
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem5  21267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-ico 10914  df-lo1 12277
  Copyright terms: Public domain W3C validator