MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1eq Unicode version

Theorem lo1eq 12249
Description: Two functions that are eventually equal to one another are eventually bounded if one of them is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1eq.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1eq.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
lo1eq.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
lo1eq.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  D  <_  x ) )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
lo1eq  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem lo1eq
StepHypRef Expression
1 lo1dm 12200 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
2 lo1eq.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
42, 3fmptd 5795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
5 fdm 5499 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
76sseq1d 3291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
81, 7syl5ib 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
9 lo1dm 12200 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  ( x  e.  A  |->  C )  C_  RR )
10 lo1eq.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
11 eqid 2366 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
1210, 11fmptd 5795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )
13 fdm 5499 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR  ->  dom  ( x  e.  A  |->  C )  =  A )
1412, 13syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  C )  =  A )
1514sseq1d 3291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dom  ( x  e.  A  |->  C ) 
C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
169, 15syl5ib 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
17 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )
18 elin 3446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( D [,)  +oo ) ) )
1917, 18sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( D [,)  +oo ) ) )
2019simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  A
)
2119simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  ( D [,)  +oo )
)
22 lo1eq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
23 elicopnf 10892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  RR  ->  (
x  e.  ( D [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) ) )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( D [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) ) )
2524biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( D [,)  +oo )
)  ->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) )
2621, 25syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) )
2726simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  D  <_  x
)
2820, 27jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  D  <_  x ) )
29 lo1eq.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  D  <_  x ) )  ->  B  =  C )
3028, 29syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  B  =  C )
3130mpteq2dva 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  B )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo )
)  |->  C ) )
32 inss1 3477 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  C_  A
33 resmpt 5103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  B ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  B )
35 resmpt 5103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  C ) )
3632, 35ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  C )
3731, 34, 363eqtr4g 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) ) )
38 resres 5071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )
39 resres 5071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )
4037, 38, 393eqtr4g 2423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) ) )
41 ssid 3283 . . . . . . . 8  |-  A  C_  A
42 resmpt 5103 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
43 reseq1 5052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo )
) )
4441, 42, 43mp2b 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )
45 resmpt 5103 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
46 reseq1 5052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo )
) )
4741, 45, 46mp2b 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) )
4840, 44, 473eqtr3g 2421 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo )
)  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) ) )
4948eleq1d 2432 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e. 
<_ O ( 1 ) ) )
5049adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo )
)  e.  <_ O
( 1 ) ) )
514adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
52 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
5322adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  D  e.  RR )
5451, 52, 53lo1resb 12245 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5512adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )
5655, 52, 53lo1resb 12245 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5750, 54, 563bitr4d 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 ) ) )
5857ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) ) ) )
598, 16, 58pm5.21ndd 343 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    i^i cin 3237    C_ wss 3238   class class class wbr 4125    e. cmpt 4179   dom cdm 4792    |` cres 4794   -->wf 5354  (class class class)co 5981   RRcr 8883    +oocpnf 9011    <_ cle 9015   [,)cico 10811   <_ O ( 1 )clo1 12168
This theorem is referenced by:  o1eq  12251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-er 6802  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-ico 10815  df-lo1 12172
  Copyright terms: Public domain W3C validator