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Theorem lo1eq 12038
Description: Two functions that are eventually equal to one another are eventually bounded if one of them is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1eq.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
lo1eq.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
lo1eq.3  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
lo1eq.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  D  <_  x ) )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
lo1eq  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, D    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem lo1eq
StepHypRef Expression
1 lo1dm 11989 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  (  x  e.  A  |->  B )  C_  RR )
2 lo1eq.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
3 eqid 2284 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
42, 3fmptd 5646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
5 fdm 5359 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  ->  dom  (  x  e.  A  |->  B )  =  A )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  (  x  e.  A  |->  B )  =  A )
76sseq1d 3206 . . 3  |-  ( ph  ->  (  dom  (  x  e.  A  |->  B ) 
C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
81, 7syl5ib 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
9 lo1dm 11989 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O
( 1 )  ->  dom  (  x  e.  A  |->  C )  C_  RR )
10 lo1eq.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
11 eqid 2284 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
1210, 11fmptd 5646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )
13 fdm 5359 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR  ->  dom  (  x  e.  A  |->  C )  =  A )
1412, 13syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  (  x  e.  A  |->  C )  =  A )
1514sseq1d 3206 . . 3  |-  ( ph  ->  (  dom  (  x  e.  A  |->  C ) 
C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
169, 15syl5ib 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
17 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )
18 elin 3359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( D [,)  +oo ) ) )
1917, 18sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( D [,)  +oo ) ) )
2019simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  A
)
2119simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  x  e.  ( D [,)  +oo )
)
22 lo1eq.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
23 elicopnf 10735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  RR  ->  (
x  e.  ( D [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) ) )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( D [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) ) )
2524biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( D [,)  +oo )
)  ->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) )
2621, 25syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  D  <_  x ) )
2726simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  D  <_  x
)
2820, 27jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  D  <_  x ) )
29 lo1eq.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  D  <_  x ) )  ->  B  =  C )
3028, 29syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  ->  B  =  C )
3130mpteq2dva 4107 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  B )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo )
)  |->  C ) )
32 inss1 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  C_  A
33 resmpt 4999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  B ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  B )
35 resmpt 4999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  C ) )
3632, 35ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( x  e.  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) )  |->  C )
3731, 34, 363eqtr4g 2341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) ) )
38 resres 4967 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )
39 resres 4967 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( A  i^i  ( D [,)  +oo ) ) )
4037, 38, 393eqtr4g 2341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) ) )
41 ssid 3198 . . . . . . . 8  |-  A  C_  A
42 resmpt 4999 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
43 reseq1 4948 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  B )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo )
) )
4441, 42, 43mp2b 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )
45 resmpt 4999 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
46 reseq1 4948 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  C )  -> 
( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo )
) )
4741, 45, 46mp2b 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  A )  |`  ( D [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) )
4840, 44, 473eqtr3g 2339 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo )
)  =  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) ) )
4948eleq1d 2350 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e. 
<_ O ( 1 ) ) )
5049adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo )
)  e.  <_ O
( 1 ) ) )
514adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
52 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
5322adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  D  e.  RR )
5451, 52, 53lo1resb 12034 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( ( x  e.  A  |->  B )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5512adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> RR )
5655, 52, 53lo1resb 12034 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( ( x  e.  A  |->  C )  |`  ( D [,)  +oo ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
5750, 54, 563bitr4d 276 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  <_ O ( 1 )  <->  ( x  e.  A  |->  C )  e. 
<_ O ( 1 ) ) )
5857ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) ) ) )
598, 16, 58pm5.21ndd 343 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  C )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    i^i cin 3152    C_ wss 3153   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078    dom cdm 4688    |` cres 4690   -->wf 5217  (class class class)co 5820   RRcr 8732    +oocpnf 8860    <_ cle 8864   [,)cico 10654   <_ O ( 1 )clo1 11957
This theorem is referenced by:  o1eq  12040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-er 6656  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-ico 10658  df-lo1 11961
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