MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1o1 Unicode version

Theorem lo1o1 12314
Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lo1o1  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) )

Proof of Theorem lo1o1
Dummy variables  x  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 12312 . . 3  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
2 fdm 5586 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
32sseq1d 3367 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  F  C_  RR  <->  A 
C_  RR ) )
41, 3syl5ib 211 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O ( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
5 lo1dm 12301 . . 3  |-  ( ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 )  ->  dom  ( abs 
o.  F )  C_  RR )
6 absf 12129 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
7 fco 5591 . . . . . 6  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( abs  o.  F ) : A --> RR )
86, 7mpan 652 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  ( abs  o.  F ) : A --> RR )
9 fdm 5586 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  F ) : A --> RR  ->  dom  ( abs  o.  F
)  =  A )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom  ( abs  o.  F
)  =  A )
1110sseq1d 3367 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  ( abs  o.  F )  C_  RR  <->  A 
C_  RR ) )
125, 11syl5ib 211 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( abs  o.  F
)  e.  <_ O
( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
13 fvco3 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y
)  =  ( abs `  ( F `  y
) ) )
1413adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
1514breq1d 4214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
( abs  o.  F
) `  y )  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
)
1615imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  <_  y  ->  ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  m )  <->  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
1716ralbidva 2713 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
)  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
18172rexbidv 2740 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) ) )
19 ello12 12298 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  F
) : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
) ) )
208, 19sylan 458 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
) ) )
21 elo12 12309 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
2218, 20, 213bitr4rd 278 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
2322ex 424 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( A  C_  RR  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) ) )
244, 12, 23pm5.21ndd 344 1  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   dom cdm 4869    o. ccom 4873   -->wf 5441   ` cfv 5445   CCcc 8977   RRcr 8978    <_ cle 9110   abscabs 12027   O ( 1 )co1 12268   <_ O ( 1 )clo1 12269
This theorem is referenced by:  lo1o12  12315  o1res  12342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-ico 10911  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-o1 12272  df-lo1 12273
  Copyright terms: Public domain W3C validator