MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1o1 Unicode version

Theorem lo1o1 12253
Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
lo1o1  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) )

Proof of Theorem lo1o1
Dummy variables  x  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1dm 12251 . . 3  |-  ( F  e.  O ( 1 )  ->  dom  F  C_  RR )
2 fdm 5535 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom 
F  =  A )
32sseq1d 3318 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  F  C_  RR  <->  A 
C_  RR ) )
41, 3syl5ib 211 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O ( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
5 lo1dm 12240 . . 3  |-  ( ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 )  ->  dom  ( abs 
o.  F )  C_  RR )
6 absf 12068 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
7 fco 5540 . . . . . 6  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  F : A --> CC )  ->  ( abs  o.  F ) : A --> RR )
86, 7mpan 652 . . . . 5  |-  ( F : A --> CC  ->  ( abs  o.  F ) : A --> RR )
9 fdm 5535 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  F ) : A --> RR  ->  dom  ( abs  o.  F
)  =  A )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( F : A --> CC  ->  dom  ( abs  o.  F
)  =  A )
1110sseq1d 3318 . . 3  |-  ( F : A --> CC  ->  ( dom  ( abs  o.  F )  C_  RR  <->  A 
C_  RR ) )
125, 11syl5ib 211 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( ( abs  o.  F
)  e.  <_ O
( 1 )  ->  A  C_  RR ) )
13 fvco3 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> CC  /\  y  e.  A )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y
)  =  ( abs `  ( F `  y
) ) )
1413adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
1514breq1d 4163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
( abs  o.  F
) `  y )  <_  m  <->  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
)
1615imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  <_  y  ->  ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  m )  <->  ( x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
1716ralbidva 2665 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
)  <->  A. y  e.  A  ( x  <_  y  -> 
( abs `  ( F `  y )
)  <_  m )
) )
18172rexbidv 2692 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
)  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  (
x  <_  y  ->  ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  m ) ) )
19 ello12 12237 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  F
) : A --> RR  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
) ) )
208, 19sylan 458 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  <_  m
) ) )
21 elo12 12248 . . . 4  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  E. x  e.  RR  E. m  e.  RR  A. y  e.  A  ( x  <_ 
y  ->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  m
) ) )
2218, 20, 213bitr4rd 278 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  -> 
( F  e.  O
( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
2322ex 424 . 2  |-  ( F : A --> CC  ->  ( A  C_  RR  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) ) )
244, 12, 23pm5.21ndd 344 1  |-  ( F : A --> CC  ->  ( F  e.  O ( 1 )  <->  ( abs  o.  F )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   class class class wbr 4153   dom cdm 4818    o. ccom 4822   -->wf 5390   ` cfv 5394   CCcc 8921   RRcr 8922    <_ cle 9054   abscabs 11966   O ( 1 )co1 12207   <_ O ( 1 )clo1 12208
This theorem is referenced by:  lo1o12  12254  o1res  12281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-ico 10854  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-o1 12211  df-lo1 12212
  Copyright terms: Public domain W3C validator