MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1o12 Unicode version

Theorem lo1o12 12009
Description: A function is eventually bounded iff its absolute value is eventually upper bounded. (This function is useful for converting theorems about  <_ O ( 1 ) to  O ( 1 ).) (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lo1o12.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
lo1o12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem lo1o12
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1o12.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2 eqid 2285 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
31, 2fmptd 5686 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
4 lo1o1 12008 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> CC  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O
( 1 )  <->  ( abs  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. 
<_ O ( 1 ) ) )
53, 4syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( abs  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
6 eqidd 2286 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B ) )
7 absf 11823 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
87a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  abs : CC --> RR )
98feqmptd 5577 . . . 4  |-  ( ph  ->  abs  =  ( y  e.  CC  |->  ( abs `  y ) ) )
10 fveq2 5527 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  B
) )
111, 6, 9, 10fmptco 5693 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  (
x  e.  A  |->  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) ) )
1211eleq1d 2351 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  ( x  e.  A  |->  B ) )  e. 
<_ O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
135, 12bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  <_ O ( 1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1686    e. cmpt 4079    o. ccom 4695   -->wf 5253   ` cfv 5257   CCcc 8737   RRcr 8738   abscabs 11721   O ( 1 )co1 11962   <_ O ( 1 )clo1 11963
This theorem is referenced by:  elo1mpt  12010  elo1mpt2  12011  elo1d  12012  o1bdd2  12017  o1bddrp  12018  o1eq  12046  o1le  12128  pntrlog2bndlem1  20728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-ico 10664  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-o1 11966  df-lo1 11967
  Copyright terms: Public domain W3C validator