Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logbrec Unicode version

Theorem logbrec 23409
Description: Logarithm of a reciprocal changes sign. See logrec 20119 (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
logbrec  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( Blogb ( 1  /  A
) )  =  -u ( Blogb A ) )

Proof of Theorem logbrec
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR+ )
21rpreccld 10402 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  /  A )  e.  RR+ )
3 rnlogbval 23404 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
1  /  A )  e.  RR+ )  ->  ( Blogb ( 1  /  A
) )  =  ( ( log `  (
1  /  A ) )  /  ( log `  B ) ) )
42, 3syldan 456 . 2  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( Blogb ( 1  /  A
) )  =  ( ( log `  (
1  /  A ) )  /  ( log `  B ) ) )
5 rnlogbval 23404 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( Blogb A )  =  ( ( log `  A
)  /  ( log `  B ) ) )
65negeqd 9048 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  -u ( Blogb A )  =  -u ( ( log `  A
)  /  ( log `  B ) ) )
71rpcnd 10394 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
81rpne0d 10397 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  A  =/=  0 )
97, 8logcld 19930 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
10 rnlogblem 23403 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  0  /\  B  =/=  1 ) )
1110simp1d 967 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  RR+ )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
1312relogcld 19976 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  B )  e.  RR )
1413recnd 8863 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  B )  e.  CC )
1510simp3d 969 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  =/=  1 )
1615adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  B  =/=  1 )
17 logne0 19958 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  B  =/=  1 )  ->  ( log `  B )  =/=  0 )
1812, 16, 17syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  B )  =/=  0 )
199, 14, 18divnegd 9551 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  -u (
( log `  A
)  /  ( log `  B ) )  =  ( -u ( log `  A )  /  ( log `  B ) ) )
207, 8reccld 9531 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  /  A )  e.  CC )
217, 8recne0d 9532 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
1  /  A )  =/=  0 )
2220, 21logcld 19930 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( 1  /  A ) )  e.  CC )
231relogcld 19976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  A )  e.  RR )
2423reim0d 11712 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  =  0 )
25 0re 8840 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
26 pipos 19835 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  pi
27 ltne 8919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  0  <  pi )  ->  pi  =/=  0 )
2825, 26, 27mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  pi  =/=  0
2928a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  pi  =/=  0 )
3029necomd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  0  =/=  pi )
3124, 30eqnetrd 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
Im `  ( log `  A ) )  =/= 
pi )
32 logrec 20119 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  =/= 
pi )  ->  ( log `  A )  = 
-u ( log `  (
1  /  A ) ) )
337, 8, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( log `  A )  = 
-u ( log `  (
1  /  A ) ) )
3433eqcomd 2290 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  -u ( log `  ( 1  /  A ) )  =  ( log `  A
) )
3522, 34negcon1ad 9154 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  -u ( log `  A )  =  ( log `  (
1  /  A ) ) )
3635oveq1d 5875 . . 3  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( -u ( log `  A
)  /  ( log `  B ) )  =  ( ( log `  (
1  /  A ) )  /  ( log `  B ) ) )
376, 19, 363eqtrd 2321 . 2  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  -u ( Blogb A )  =  ( ( log `  (
1  /  A ) )  /  ( log `  B ) ) )
384, 37eqtr4d 2320 1  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  RR+ )  ->  ( Blogb ( 1  /  A
) )  =  -u ( Blogb A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    < clt 8869   -ucneg 9040    / cdiv 9425   2c2 9797   ZZ>=cuz 10232   RR+crp 10356   Imcim 11585   picpi 12350   logclog 19914  logbclogb 23392
This theorem is referenced by:  dya2ub  23577
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-logb 23393
  Copyright terms: Public domain W3C validator