Theorem loge 9039

Description: The natural logarithm of e. One case of Property 1b of [Cohen] p. 301. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
loge	|- (log` e) = 1

Proof of Theorem loge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-e 7504	. . 3 |- e = (exp` 1)
2	1	eqcomi 1522	. 2 |- (exp` 1) = e
3		ere 7535	. . . 4 |- e e. RR
4		1re 5589	. . . . . 6 |- 1 e. RR
5	4	efgt0i 7612	. . . . 5 |- 0 < (exp` 1)
6	5, 1	breqtrri 2713	. . . 4 |- 0 < e
7	3, 6	elrpii 6193	. . 3 |- e e. RR+
8		relogeftb 9037	. . 3 |- ((e e. RR+ /\ 1 e. RR) -> ((log` e) = 1 <-> (exp` 1) = e))
9	7, 4, 8	mp2an 701	. 2 |- ((log` e) = 1 <-> (exp` 1) = e)
10	2, 9	mpbir 188	1 |- (log` e) = 1

Syntax hints:   <-> wb 144   = wceq 992   e. wcel 994  ` cfv 3263  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389  RR+crp 5454   < clt 5640  expce 7498  eceu 7499  logclog 9021

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-reg 4736  ax-inf2 4770  ax-ac 4890

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-iin 2636  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-map 4465  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-sup 4717  df-r1 4789  df-rank 4790  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-3 6117  df-4 6118  df-5 6119  df-6 6120  df-7 6121  df-8 6122  df-9 6123  df-rp 6191  df-n0 6268  df-z 6304  df-q 6395  df-fl 6422  df-ioo 6487  df-ioc 6488  df-ico 6489  df-icc 6490  df-uz 6545  df-fz 6596  df-seq1 6673  df-shft 6706  df-seqz 6728  df-seq0 6729  df-exp 6764  df-sqr 6871  df-re 6952  df-im 6953  df-cj 6954  df-abs 6955  df-fac 7135  df-bc 7160  df-clim 7178  df-sum 7183  df-cncf 7468  df-ef 7503  df-e 7504  df-sin 7505  df-cos 7506  df-pi 7507  df-top 7804  df-cn 7964  df-cnp 7965  df-met 8003  df-bl 8005  df-opn 8006  df-lm 8133  df-grp 8249  df-gid 8250  df-ginv 8251  df-gdiv 8252  df-abl 8341  df-subg 8357  df-log 9022

Copyright terms: Public domain