Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfac2 Unicode version

Theorem logfac2 20458
 Description: Another expression for the logarithm of a factorial, in terms of the von Mangoldt function. Equation 9.2.7 of [Shapiro], p. 329. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfac2 Λ
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem logfac2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flge0nn0 10950 . . 3
2 logfac 19956 . . 3
31, 2syl 15 . 2
4 fzfid 11037 . . . 4
5 fzfid 11037 . . . . 5
6 ssrab2 3260 . . . . 5
7 ssfi 7085 . . . . 5
85, 6, 7sylancl 643 . . . 4
9 flcl 10929 . . . . . . . . 9
109adantr 451 . . . . . . . 8
11 fznn 10854 . . . . . . . 8
1210, 11syl 15 . . . . . . 7
1312anbi1d 685 . . . . . 6
14 nnre 9755 . . . . . . . . . . 11
1514ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10
16 elfznn 10821 . . . . . . . . . . . 12
1716ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11
1817nnred 9763 . . . . . . . . . 10
19 reflcl 10930 . . . . . . . . . . 11
2019ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10
21 simprr 733 . . . . . . . . . . 11
22 nnz 10047 . . . . . . . . . . . . 13
2322ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12
24 dvdsle 12576 . . . . . . . . . . . 12
2523, 17, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
2621, 25mpd 14 . . . . . . . . . 10
27 elfzle2 10802 . . . . . . . . . . 11
2827ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10
2915, 18, 20, 26, 28letrd 8975 . . . . . . . . 9
3029expl 601 . . . . . . . 8
3130pm4.71rd 616 . . . . . . 7
32 an12 772 . . . . . . 7
33 anass 630 . . . . . . . 8
34 an12 772 . . . . . . . 8
3533, 34bitri 240 . . . . . . 7
3631, 32, 353bitr4g 279 . . . . . 6
3713, 36bitr4d 247 . . . . 5
38 breq2 4029 . . . . . . 7
3938elrab 2925 . . . . . 6
4039anbi2i 675 . . . . 5
41 breq1 4028 . . . . . . 7
4241elrab 2925 . . . . . 6
4342anbi2i 675 . . . . 5
4437, 40, 433bitr4g 279 . . . 4
45 elfznn 10821 . . . . . . . 8
4645adantl 452 . . . . . . 7
47 vmacl 20358 . . . . . . 7 Λ
4846, 47syl 15 . . . . . 6 Λ
4948recnd 8863 . . . . 5 Λ
5049adantrr 697 . . . 4 Λ
514, 4, 8, 44, 50fsumcom2 12239 . . 3 Λ Λ
52 fsumconst 12254 . . . . . 6 Λ Λ Λ
538, 49, 52syl2anc 642 . . . . 5 Λ Λ
54 fzfid 11037 . . . . . . . . 9
55 simpll 730 . . . . . . . . . 10
56 eqid 2285 . . . . . . . . . 10
5755, 46, 56dvdsflf1o 20429 . . . . . . . . 9
58 f1oeng 6882 . . . . . . . . 9
5954, 57, 58syl2anc 642 . . . . . . . 8
60 hasheni 11349 . . . . . . . 8
6159, 60syl 15 . . . . . . 7
62 simpl 443 . . . . . . . . . 10
63 nndivre 9783 . . . . . . . . . 10
6462, 45, 63syl2an 463 . . . . . . . . 9
65 nngt0 9777 . . . . . . . . . . . 12
6614, 65jca 518 . . . . . . . . . . 11
6745, 66syl 15 . . . . . . . . . 10
68 divge0 9627 . . . . . . . . . 10
6967, 68sylan2 460 . . . . . . . . 9
70 flge0nn0 10950 . . . . . . . . 9
7164, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . 8
72 hashfz1 11347 . . . . . . . 8
7371, 72syl 15 . . . . . . 7
7461, 73eqtr3d 2319 . . . . . 6
7574oveq1d 5875 . . . . 5 Λ Λ
7664flcld 10932 . . . . . . 7
7776zcnd 10120 . . . . . 6
7877, 49mulcomd 8858 . . . . 5 Λ Λ
7953, 75, 783eqtrd 2321 . . . 4 Λ Λ
8079sumeq2dv 12178 . . 3 Λ Λ
8116adantl 452 . . . . 5
82 vmasum 20457 . . . . 5 Λ
8381, 82syl 15 . . . 4 Λ
8483sumeq2dv 12178 . . 3 Λ
8551, 80, 843eqtr3d 2325 . 2 Λ
863, 85eqtr4d 2320 1 Λ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1625   wcel 1686  crab 2549   wss 3154   class class class wbr 4025   cmpt 4079  wf1o 5256  cfv 5257  (class class class)co 5860   cen 6862  cfn 6865  cc 8737  cr 8738  cc0 8739  c1 8740   cmul 8744   clt 8869   cle 8870   cdiv 9425  cn 9748  cn0 9967  cz 10026  cfz 10784  cfl 10926  cfa 11290  chash 11339  csu 12160   cdivides 12533  clog 19914  Λcvma 20331 This theorem is referenced by:  vmadivsum  20633 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-dvds 12534  df-gcd 12688  df-prm 12761  df-pc 12892  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-vma 20337
 Copyright terms: Public domain W3C validator