Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacrlim Unicode version

Theorem logfacrlim 20996
 Description: Combine the estimates logfacubnd 20993 and logfaclbnd 20994, to get . Equation 9.2.9 of [Shapiro], p. 329. This is a weak form of the even stronger statement, . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacrlim

Proof of Theorem logfacrlim
StepHypRef Expression
1 1re 9079 . . . 4
21a1i 11 . . 3
3 ax-1cn 9037 . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 relogcl 20461 . . . . . . . . 9
65adantl 453 . . . . . . . 8
76recnd 9103 . . . . . . 7
83a1i 11 . . . . . . 7
9 rpcnne0 10618 . . . . . . . 8
109adantl 453 . . . . . . 7
11 divdir 9690 . . . . . . 7
127, 8, 10, 11syl3anc 1184 . . . . . 6
1312mpteq2dva 4287 . . . . 5
14 simpr 448 . . . . . . 7
156, 14rerpdivcld 10664 . . . . . 6
16 rpreccl 10624 . . . . . . . 8
1716adantl 453 . . . . . . 7
1817rpred 10637 . . . . . 6
1910simpld 446 . . . . . . . . . 10
2019cxp1d 20585 . . . . . . . . 9
2120oveq2d 6088 . . . . . . . 8
2221mpteq2dva 4287 . . . . . . 7
23 1rp 10605 . . . . . . . 8
24 cxploglim 20804 . . . . . . . 8
2523, 24mp1i 12 . . . . . . 7
2622, 25eqbrtrrd 4226 . . . . . 6
27 divrcnv 12620 . . . . . . 7
283, 27mp1i 12 . . . . . 6
2915, 18, 26, 28rlimadd 12424 . . . . 5
3013, 29eqbrtrd 4224 . . . 4
31 00id 9230 . . . 4
3230, 31syl6breq 4243 . . 3
33 peano2re 9228 . . . . . 6
346, 33syl 16 . . . . 5
3534, 14rerpdivcld 10664 . . . 4
3635recnd 9103 . . 3
37 rprege0 10615 . . . . . . . . . 10
3837adantl 453 . . . . . . . . 9
39 flge0nn0 11213 . . . . . . . . 9
40 faccl 11564 . . . . . . . . 9
4138, 39, 403syl 19 . . . . . . . 8
4241nnrpd 10636 . . . . . . 7
43 relogcl 20461 . . . . . . 7
4442, 43syl 16 . . . . . 6
4544, 14rerpdivcld 10664 . . . . 5
4645recnd 9103 . . . 4
477, 46subcld 9400 . . 3
48 logfacbnd3 20995 . . . . . 6
4948adantl 453 . . . . 5
5044recnd 9103 . . . . . . . . 9
5150adantrr 698 . . . . . . . 8
529ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10
5352simpld 446 . . . . . . . . 9
547adantrr 698 . . . . . . . . . 10
55 subcl 9294 . . . . . . . . . 10
5654, 3, 55sylancl 644 . . . . . . . . 9
5753, 56mulcld 9097 . . . . . . . 8
5851, 57subcld 9400 . . . . . . 7
5958abscld 12226 . . . . . 6
606adantrr 698 . . . . . . 7
6160, 33syl 16 . . . . . 6
62 rpregt0 10614 . . . . . . 7
6362ad2antrl 709 . . . . . 6
64 lediv1 9864 . . . . . 6
6559, 61, 63, 64syl3anc 1184 . . . . 5
6649, 65mpbid 202 . . . 4
6752simprd 450 . . . . . . . . 9
6856, 53, 67divcan3d 9784 . . . . . . . 8
6968oveq1d 6087 . . . . . . 7
70 divsubdir 9699 . . . . . . . 8
7157, 51, 52, 70syl3anc 1184 . . . . . . 7
7246adantrr 698 . . . . . . . 8
733a1i 11 . . . . . . . 8
7454, 72, 73sub32d 9432 . . . . . . 7
7569, 71, 743eqtr4rd 2478 . . . . . 6
7675fveq2d 5723 . . . . 5
7757, 51subcld 9400 . . . . . 6
7877, 53, 67absdivd 12245 . . . . 5
7957, 51abssubd 12243 . . . . . 6
8037ad2antrl 709 . . . . . . 7
81 absid 12089 . . . . . . 7
8280, 81syl 16 . . . . . 6
8379, 82oveq12d 6090 . . . . 5
8476, 78, 833eqtrd 2471 . . . 4
8536adantrr 698 . . . . . . 7
8685subid1d 9389 . . . . . 6
8786fveq2d 5723 . . . . 5
88 log1 20468 . . . . . . . . 9
89 simprr 734 . . . . . . . . . 10
9014adantrr 698 . . . . . . . . . . 11
91 logleb 20486 . . . . . . . . . . 11
9223, 90, 91sylancr 645 . . . . . . . . . 10
9389, 92mpbid 202 . . . . . . . . 9
9488, 93syl5eqbrr 4238 . . . . . . . 8
9560, 94ge0p1rpd 10663 . . . . . . 7
9695, 90rpdivcld 10654 . . . . . 6
97 rprege0 10615 . . . . . 6
98 absid 12089 . . . . . 6
9996, 97, 983syl 19 . . . . 5
10087, 99eqtrd 2467 . . . 4
10166, 84, 1003brtr4d 4234 . . 3
1022, 4, 32, 36, 47, 101rlimsqzlem 12430 . 2
103102trud 1332 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wtru 1325   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   class class class wbr 4204   cmpt 4258  cfv 5445  (class class class)co 6072  cc 8977  cr 8978  cc0 8979  c1 8980   caddc 8982   cmul 8984   clt 9109   cle 9110   cmin 9280   cdiv 9666  cn 9989  cn0 10210  crp 10601  cfl 11189  cfa 11554  cabs 12027   crli 12267  clog 20440   ccxp 20441 This theorem is referenced by:  vmadivsum  21164 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-ef 12658  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-cmp 17438  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742  df-log 20442  df-cxp 20443
 Copyright terms: Public domain W3C validator