Theorem lpbl 7877

Description: Every ball around a limit point P of a subset S includes a member of S (even if P e/ S).

Hypotheses

Ref	Expression
blopn.1	|- X = dom dom D
blopn.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
lpbl	|- (((D e. Met /\ S (_ X /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> E.x e. S x e. (P( ball ` D)R))

Distinct variable groups:   x,D   x,J   x,P   x,R   x,S   x,X

Proof of Theorem lpbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 2213	. . . . . 6 |- (y = (P( ball ` D)R) -> (y i^i (S \ {P})) = ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})))
2	1	neeq1d 1597	. . . . 5 |- (y = (P( ball ` D)R) -> ((y i^i (S \ {P})) =/= (/) <-> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) =/= (/)))
3	2	rcla4va 1878	. . . 4 |- (((P( ball ` D)R) e. ((nei` J)` {P}) /\ A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) =/= (/))
4		blopn.1	. . . . . 6 |- X = dom dom D
5		blopn.2	. . . . . 6 |- J = (Open` D)
6	4, 5	blnei 7876	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (P( ball ` D)R) e. ((nei` J)` {P}))
7		simpll 414	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> D e. Met)
8		ssel2 2067	. . . . . . . . 9 |- ((((limPt` J)` S) (_ U.J /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> P e. U.J)
9		eqid 1478	. . . . . . . . . 10 |- U.J = U.J
10	9	lpss 7743	. . . . . . . . 9 |- ((J e. Top /\ S (_ U.J) -> ((limPt` J)` S) (_ U.J)
11	8, 10	sylan 450	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> P e. U.J)
12	5	opntop 7867	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> J e. Top)
13	11, 12	sylanl1 462	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> P e. U.J)
14	4, 5	uniopn 7858	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> U.J = X)
15	14	ad2antrr 406	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> U.J = X)
16	13, 15	eleqtrd 1553	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> P e. X)
17	7, 16	jca 288	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> (D e. Met /\ P e. X))
18	6, 17	sylan 450	. . . 4 |- ((((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (P( ball ` D)R) e. ((nei` J)` {P}))
19		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> P e. ((limPt` J)` S))
20	9	islp2 7744	. . . . . . . 8 |- ((J e. Top /\ S (_ U.J /\ P e. U.J) -> (P e. ((limPt` J)` S) <-> A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/)))
21		simpll 414	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> J e. Top)
22		simplr 415	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> S (_ U.J)
23	20, 21, 22, 11	syl3anc 860	. . . . . . 7 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> (P e. ((limPt` J)` S) <-> A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/)))
24	19, 23	mpbid 195	. . . . . 6 |- (((J e. Top /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/))
25	24, 12	sylanl1 462	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/))
26	25	adantr 391	. . . 4 |- ((((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> A.y e. ((nei` J)` {P})(y i^i (S \ {P})) =/= (/))
27	3, 18, 26	sylanc 473	. . 3 |- ((((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) =/= (/))
28		incom 2211	. . . . . . . 8 |- ((P( ball ` D)R) i^i S) = (S i^i (P( ball ` D)R))
29	28	eqeq1i 1485	. . . . . . 7 |- (((P( ball ` D)R) i^i S) = (/) <-> (S i^i (P( ball ` D)R)) = (/))
30		disj 2315	. . . . . . 7 |- ((S i^i (P( ball ` D)R)) = (/) <-> A.x e. S -. x e. (P( ball ` D)R))
31	29, 30	bitr2 174	. . . . . 6 |- (A.x e. S -. x e. (P( ball ` D)R) <-> ((P( ball ` D)R) i^i S) = (/))
32		difss 2170	. . . . . . . 8 |- (S \ {P}) (_ S
33		sslin 2238	. . . . . . . 8 |- ((S \ {P}) (_ S -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) (_ ((P( ball ` D)R) i^i S))
34	32, 33	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) (_ ((P( ball ` D)R) i^i S)
35		sseq0 2308	. . . . . . 7 |- ((((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) (_ ((P( ball ` D)R) i^i S) /\ ((P( ball ` D)R) i^i S) = (/)) -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) = (/))
36	34, 35	mpan 697	. . . . . 6 |- (((P( ball ` D)R) i^i S) = (/) -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) = (/))
37	31, 36	sylbi 199	. . . . 5 |- (A.x e. S -. x e. (P( ball ` D)R) -> ((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) = (/))
38	37	necon3ai 1609	. . . 4 |- (((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) =/= (/) -> -. A.x e. S -. x e. (P( ball ` D)R))
39		dfrex2 1659	. . . 4 |- (E.x e. S x e. (P( ball ` D)R) <-> -. A.x e. S -. x e. (P( ball ` D)R))
40	38, 39	sylibr 200	. . 3 |- (((P( ball ` D)R) i^i (S \ {P})) =/= (/) -> E.x e. S x e. (P( ball ` D)R))
41	27, 40	syl 10	. 2 |- ((((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> E.x e. S x e. (P( ball ` D)R))
42		pm3.26 319	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ S (_ X) -> D e. Met)
43	14	sseq2d 2092	. . . . . 6 |- (D e. Met -> (S (_ U.J <-> S (_ X))
44	43	biimpar 419	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ S (_ X) -> S (_ U.J)
45	42, 44	jca 288	. . . 4 |- ((D e. Met /\ S (_ X) -> (D e. Met /\ S (_ U.J))
46	45	anim1i 334	. . 3 |- (((D e. Met /\ S (_ X) /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> ((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)))
47	46	3impa 830	. 2 |- ((D e. Met /\ S (_ X /\ P e. ((limPt` J)` S)) -> ((D e. Met /\ S (_ U.J) /\ P e. ((limPt` J)` S)))
48	41, 47	sylan 450	1 |- (((D e. Met /\ S (_ X /\ P e. ((limPt` J)` S)) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> E.x e. S x e. (P( ball ` D)R))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649   \ cdif 2047   i^i cin 2049   (_ wss 2050  (/)c0 2283  {csn 2413  U.cuni 2507   class class class wbr 2624  dom cdm 3176  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   < clt 5498  Topctop 7590  neicnei 7709  limPtclp 7737  Metcme 7786   ball cbl 7788  Opencopn 7789

This theorem is referenced by:  metelcls 7962

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom