Theorem lpsscls 7695

Description: The limits points of a subset are included in the subset's closure.

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
lpsscls	|- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((limPt` J)` S) (_ ((cls` J)` S))

Proof of Theorem lpsscls

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . 3 |- X = U.J
2	1	lpval 7693	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((limPt` J)` S) = {x | x e. ((cls` J)` (S \ {x}))})
3		difss 2163	. . . . 5 |- (S \ {x}) (_ S
4	1	clsss 7637	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ S (_ X /\ (S \ {x}) (_ S) -> ((cls` J)` (S \ {x})) (_ ((cls` J)` S))
5	3, 4	mp3an3 903	. . . 4 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((cls` J)` (S \ {x})) (_ ((cls` J)` S))
6	5	sseld 2063	. . 3 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> (x e. ((cls` J)` (S \ {x})) -> x e. ((cls` J)` S)))
7	6	abssdv 2117	. 2 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> {x | x e. ((cls` J)` (S \ {x}))} (_ ((cls` J)` S))
8	2, 7	eqsstrd 2091	1 |- ((J e. Top /\ S (_ X) -> ((limPt` J)` S) (_ ((cls` J)` S))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  {cab 1461   \ cdif 2040   (_ wss 2043  {csn 2405  U.cuni 2498  ` cfv 3177  Topctop 7538  clsccl 7612  limPtclp 7690

This theorem is referenced by:  lpss 7696  clslp 7698

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-top 7542  df-cld 7613  df-cls 7615  df-lp 7691

Copyright terms: Public domain