Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lrelat Unicode version

Theorem lrelat 28472
Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 22937 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lrelat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lrelat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lrelat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lrelat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lrelat.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lrelat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lrelat.l  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
Assertion
Ref Expression
lrelat  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( T  C.  ( T 
.(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q ) 
C_  U ) )
Distinct variable groups:    A, q    S, q    T, q    U, q    W, q    ph, q
Allowed substitution hint:    .(+) ( q)

Proof of Theorem lrelat
StepHypRef Expression
1 lrelat.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
2 lrelat.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
3 lrelat.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lrelat.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
5 lrelat.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
6 lrelat.l . . 3  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6lpssat 28471 . 2  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
8 ancom 439 . . . 4  |-  ( ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T )  <-> 
( -.  q  C_  T  /\  q  C_  U
) )
9 lrelat.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
103adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  W  e.  LMod )
111lsssssubg 15710 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
1210, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  S  C_  (SubGrp `  W )
)
134adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T  e.  S )
1412, 13sseldd 3183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
15 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  A )
161, 2, 10, 15lsatlssel 28455 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  S )
1712, 16sseldd 3183 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  (SubGrp `  W )
)
189, 14, 17lssnle 14978 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( -.  q  C_  T  <->  T  C.  ( T  .(+)  q ) ) )
196pssssd 3275 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
2019adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T  C_  U )
2120biantrurd 496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  C_  U  <->  ( T  C_  U  /\  q  C_  U ) ) )
225adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  U  e.  S )
2312, 22sseldd 3183 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
249lsmlub 14969 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  q  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( ( T  C_  U  /\  q  C_  U
)  <->  ( T  .(+)  q )  C_  U )
)
2514, 17, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( T  C_  U  /\  q  C_  U )  <-> 
( T  .(+)  q ) 
C_  U ) )
2621, 25bitrd 246 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  C_  U  <->  ( T  .(+) 
q )  C_  U
) )
2718, 26anbi12d 693 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( -.  q  C_  T  /\  q  C_  U
)  <->  ( T  C.  ( T  .(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q )  C_  U )
) )
288, 27syl5bb 250 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
)  <->  ( T  C.  ( T  .(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q )  C_  U )
) )
2928rexbidva 2562 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T )  <->  E. q  e.  A  ( T  C.  ( T  .(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q )  C_  U )
) )
307, 29mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( T  C.  ( T 
.(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q ) 
C_  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   E.wrex 2546    C_ wss 3154    C. wpss 3155   ` cfv 5222  (class class class)co 5820  SubGrpcsubg 14610   LSSumclsm 14940   LModclmod 15622   LSubSpclss 15684  LSAtomsclsa 28432
This theorem is referenced by:  lcvat  28488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-sets 13149  df-ress 13150  df-plusg 13216  df-0g 13399  df-mnd 14362  df-submnd 14411  df-grp 14484  df-minusg 14485  df-sbg 14486  df-subg 14613  df-lsm 14942  df-mgp 15321  df-rng 15335  df-ur 15337  df-lmod 15624  df-lss 15685  df-lsp 15724  df-lsatoms 28434
  Copyright terms: Public domain W3C validator