Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lrelat Unicode version

Theorem lrelat 27893
Description: Subspaces are relatively atomic. Remark 2 of [Kalmbach] p. 149. (chrelati 22774 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lrelat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lrelat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lrelat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lrelat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lrelat.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lrelat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lrelat.l  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
Assertion
Ref Expression
lrelat  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( T  C.  ( T 
.(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q ) 
C_  U ) )
Distinct variable groups:    A, q    S, q    T, q    U, q    W, q    ph, q
Allowed substitution hint:    .(+) ( q)

Proof of Theorem lrelat
StepHypRef Expression
1 lrelat.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
2 lrelat.a . . 3  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
3 lrelat.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lrelat.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
5 lrelat.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
6 lrelat.l . . 3  |-  ( ph  ->  T  C.  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6lpssat 27892 . 2  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
) )
8 ancom 439 . . . 4  |-  ( ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T )  <-> 
( -.  q  C_  T  /\  q  C_  U
) )
9 lrelat.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
103adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  W  e.  LMod )
111lsssssubg 15550 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
1210, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  S  C_  (SubGrp `  W )
)
134adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T  e.  S )
1412, 13sseldd 3104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T  e.  (SubGrp `  W )
)
15 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  A )
161, 2, 10, 15lsatlssel 27876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  S )
1712, 16sseldd 3104 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  (SubGrp `  W )
)
189, 14, 17lssnle 14818 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  ( -.  q  C_  T  <->  T  C.  ( T  .(+)  q ) ) )
196pssssd 3194 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  C_  U )
2019adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  T  C_  U )
2120biantrurd 496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  C_  U  <->  ( T  C_  U  /\  q  C_  U ) ) )
225adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  U  e.  S )
2312, 22sseldd 3104 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  U  e.  (SubGrp `  W )
)
249lsmlub 14809 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  q  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( ( T  C_  U  /\  q  C_  U
)  <->  ( T  .(+)  q )  C_  U )
)
2514, 17, 23, 24syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( T  C_  U  /\  q  C_  U )  <-> 
( T  .(+)  q ) 
C_  U ) )
2621, 25bitrd 246 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
q  C_  U  <->  ( T  .(+) 
q )  C_  U
) )
2718, 26anbi12d 694 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( -.  q  C_  T  /\  q  C_  U
)  <->  ( T  C.  ( T  .(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q )  C_  U )
) )
288, 27syl5bb 250 . . 3  |-  ( (
ph  /\  q  e.  A )  ->  (
( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T
)  <->  ( T  C.  ( T  .(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q )  C_  U )
) )
2928rexbidva 2524 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. q  e.  A  ( q  C_  U  /\  -.  q  C_  T )  <->  E. q  e.  A  ( T  C.  ( T  .(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q )  C_  U )
) )
307, 29mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  A  ( T  C.  ( T 
.(+)  q )  /\  ( T  .(+)  q ) 
C_  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2510    C_ wss 3078    C. wpss 3079   ` cfv 4592  (class class class)co 5710  SubGrpcsubg 14450   LSSumclsm 14780   LModclmod 15462   LSubSpclss 15524  LSAtomsclsa 27853
This theorem is referenced by:  lcvat  27909
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-lsm 14782  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lsatoms 27855
  Copyright terms: Public domain W3C validator