Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpat Unicode version

Theorem lshpat 29319
Description: Create an atom under a hyperplane. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (lhpat 30305 analog.) TODO: This changes  U C V in l1cvpat 29317 and l1cvat 29318 to  U  e.  H, which in turn change  U  e.  H in islshpcv 29316 to  U C V, with a couple of conversions of span to atom. Seems convoluted. Would a direct proof be better? (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lshpat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
ishpat.h  |-  H  =  (LSHyp `  W )
lshpat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
lshpat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lshpat.l  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
lshpat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
lshpat.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
lshpat.n  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
lshpat.m  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
Assertion
Ref Expression
lshpat  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  e.  A )

Proof of Theorem lshpat
StepHypRef Expression
1 eqid 2285 . 2  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 lshpat.s . 2  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lshpat.p . 2  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
4 lshpat.a . 2  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
5 eqid 2285 . 2  |-  (  <oLL  `  W
)  =  (  <oLL  `  W
)
6 lshpat.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lshpat.l . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  H )
8 ishpat.h . . . . 5  |-  H  =  (LSHyp `  W )
91, 2, 8, 5, 6islshpcv 29316 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  e.  H  <->  ( U  e.  S  /\  U (  <oLL  `  W ) ( Base `  W
) ) ) )
107, 9mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  e.  S  /\  U (  <oLL  `  W ) ( Base `  W
) ) )
1110simpld 445 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
12 lshpat.q . 2  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
13 lshpat.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
14 lshpat.n . 2  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
1510simprd 449 . 2  |-  ( ph  ->  U (  <oLL  `  W ) ( Base `  W
) )
16 lshpat.m . 2  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16l1cvat 29318 1  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448    i^i cin 3153    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   LSSumclsm 14947   LSubSpclss 15691   LVecclvec 15857  LSAtomsclsa 29237  LSHypclsh 29238    <oLL clcv 29281
This theorem is referenced by:  lclkrlem2a  31770  lcfrlem20  31825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-0g 13406  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-subg 14620  df-cntz 14795  df-oppg 14821  df-lsm 14949  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-invr 15456  df-drng 15516  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lsp 15731  df-lvec 15858  df-lsatoms 29239  df-lshyp 29240  df-lcv 29282
  Copyright terms: Public domain W3C validator