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Theorem lsmcv 15888
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 22223 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmcv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmcv.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmcv.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmcv.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsmcv.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lsmcv.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsmcv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsmcv  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  =  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )

Proof of Theorem lsmcv
StepHypRef Expression
1 simp3 962 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
2 simp2 961 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  C.  U )
3 pssss 3272 . . . 4  |-  ( T 
C.  U  ->  T  C_  U )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  C_  U
)
5 pssnel 3520 . . . . 5  |-  ( T 
C.  U  ->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )
62, 5syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )
7 simpl3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
8 simprl 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  x  e.  U )
97, 8sseldd 3182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  x  e.  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
11 lveclmod 15853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
1413lsssssubg 15709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
16 lsmcv.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
1715, 16sseldd 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  =  ( Base `  W
)
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2119, 13, 20lspsncl 15728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
2212, 18, 21syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
2315, 22sseldd 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
24 eqid 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
25 lsmcv.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
2624, 25lsmelval 14954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( x  e.  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
2717, 23, 26syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
28273ad2ant1 981 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
2928adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
x  e.  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
309, 29mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )
31 simp1rr 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  -.  x  e.  T )
32 simp2l 986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  T )
33 oveq2 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  (
y ( +g  `  W
) z )  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )
3433eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  <->  x  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) ) )
3534biimpac 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  /\  z  =  ( 0g `  W ) )  ->  x  =  ( y
( +g  `  W ) ( 0g `  W
) ) )
36123ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LMod )
3736ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LMod )
38163ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  e.  S )
3938ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  e.  S )
40 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  y  e.  T )
4119, 13lssel 15689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e.  S  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  V )
4239, 40, 41syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  y  e.  V )
43 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4419, 24, 43lmod0vrid 15655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  (
y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  y )
4537, 42, 44syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  y )
4645eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  <->  x  =  y ) )
4746biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y )
)
4847ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y )
) )
4935, 48syl7 65 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  /\  z  =  ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y ) ) )
5049exp4a 592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  =  y ) ) ) )
51503imp 1150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  =  y ) )
52 eleq1 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  T  <->  y  e.  T ) )
5352biimparc 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  T  /\  x  =  y )  ->  x  e.  T )
5432, 51, 53ee12an 1359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  e.  T ) )
5554necon3bd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( -.  x  e.  T  ->  z  =/=  ( 0g `  W ) ) )
5631, 55mpd 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  =/=  ( 0g `  W ) )
57103ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LVec )
5857adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  W  e.  LVec )
59583ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  LVec )
60 lmodabl 15666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
6111, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
Abel )
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  Abel )
63 simp1l1 1053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ph )
6463, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  T  e.  S )
6564, 32, 41syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  V )
6659, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  LMod )
6763, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  X  e.  V )
6866, 67, 21syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  S )
69 simp2r 987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  ( N `  { X } ) )
7019, 13lssel 15689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  { X } )  e.  S  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
z  e.  V )
7168, 69, 70syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  V )
72 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
7319, 24, 72ablpncan2 15111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
( y ( +g  `  W ) z ) ( -g `  W
) y )  =  z )
7462, 65, 71, 73syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) (
-g `  W )
y )  =  z )
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
7663, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  U  e.  S )
77 simp3 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )
78 simp1rl 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  x  e.  U )
7977, 78eqeltrrd 2359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  U
)
80 simp1l2 1054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  T  C.  U )
813sselda 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  C.  U  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  U )
8280, 32, 81syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  U )
8372, 13lssvsubcl 15695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( ( y ( +g  `  W
) z )  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( -g `  W ) y )  e.  U )
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) (
-g `  W )
y )  e.  U
)
8574, 84eqeltrrd 2359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  U )
86593ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  LVec )
87633ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ph )
8887, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  X  e.  V )
89 simp12r 1074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( N `  { X } ) )
90 simp2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  =/=  ( 0g `  W
) )
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 15862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { z } )  =  ( N `  { X } ) )
9286, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
9387, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  U  e.  S )
94 simp3 962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 15747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { z } )  C_  U
)
9691, 95eqsstr3d 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
9756, 85, 96mpd3an23 1284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( N `  { X } ) 
C_  U )
98973exp 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( N `  { X } )  C_  U
) ) )
9998rexlimdvv 2674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  ( N `  { X } )  C_  U ) )
10030, 99mpd 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
101100ex 425 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( (
x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
)  ->  ( N `  { X } ) 
C_  U ) )
102101exlimdv 1668 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( E. x ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T )  ->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
1036, 102mpd 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X } ) 
C_  U )
10415, 75sseldd 3182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
10525lsmlub 14968 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U
)  <->  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  C_  U ) )
10617, 23, 104, 105syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U )  <->  ( T  .(+) 
( N `  { X } ) )  C_  U ) )
1071063ad2ant1 981 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U
)  <->  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  C_  U ) )
1084, 103, 107mpbi2and 892 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( T  .(+) 
( N `  { X } ) )  C_  U )
1091, 108eqssd 3197 1  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  =  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1533    = wceq 1628    e. wcel 1688    =/= wne 2447   E.wrex 2545    C_ wss 3153    C. wpss 3154   {csn 3641   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   Basecbs 13142   +g cplusg 13202   0gc0g 13394   -gcsg 14359  SubGrpcsubg 14609   LSSumclsm 14939   Abelcabel 15084   LModclmod 15621   LSubSpclss 15683   LSpanclspn 15722   LVecclvec 15849
This theorem is referenced by:  lshpnelb  28441  lshpcmp  28445  lsmsatcv  28467  lsmcv2  28486  dochshpncl  30841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-0g 13398  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-sbg 14485  df-subg 14612  df-lsm 14941  df-cmn 15085  df-abl 15086  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-drng 15508  df-lmod 15623  df-lss 15684  df-lsp 15723  df-lvec 15850
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