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Theorem lsmcv 15842
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 22195 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmcv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmcv.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmcv.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmcv.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsmcv.t  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
lsmcv.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsmcv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsmcv  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  =  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )

Proof of Theorem lsmcv
StepHypRef Expression
1 simp3 962 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
2 simp2 961 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  C.  U )
3 pssss 3232 . . . 4  |-  ( T 
C.  U  ->  T  C_  U )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  C_  U
)
5 pssnel 3480 . . . . 5  |-  ( T 
C.  U  ->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )
62, 5syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  E. x
( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )
7 simpl3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
8 simprl 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  x  e.  U )
97, 8sseldd 3142 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  x  e.  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
11 lveclmod 15807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
1413lsssssubg 15663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
16 lsmcv.t . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  S )
1715, 16sseldd 3142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  =  ( Base `  W
)
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2119, 13, 20lspsncl 15682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
2212, 18, 21syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
2315, 22sseldd 3142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
24 eqid 2256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
25 lsmcv.p . . . . . . . . . . . 12  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
2624, 25lsmelval 14908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( x  e.  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
2717, 23, 26syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
28273ad2ant1 981 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( x  e.  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
2928adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
x  e.  ( T 
.(+)  ( N `  { X } ) )  <->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) ) )
309, 29mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )
31 simp1rr 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  -.  x  e.  T )
32 simp2l 986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  T )
33 oveq2 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  (
y ( +g  `  W
) z )  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )
3433eqeq2d 2267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  <->  x  =  ( y ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) ) )
3534biimpac 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  /\  z  =  ( 0g `  W ) )  ->  x  =  ( y
( +g  `  W ) ( 0g `  W
) ) )
36123ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LMod )
3736ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LMod )
38163ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  e.  S )
3938ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  T  e.  S )
40 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  y  e.  T )
4119, 13lssel 15643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( T  e.  S  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  V )
4239, 40, 41syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  y  e.  V )
43 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
4419, 24, 43lmod0vrid 15609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  V )  ->  (
y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  y )
4537, 42, 44syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  y )
4645eqeq2d 2267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  <->  x  =  y ) )
4746biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) ) )  ->  (
x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y )
)
4847ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y )
) )
4935, 48syl7 65 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( ( x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  /\  z  =  ( 0g `  W ) )  ->  x  =  y ) ) )
5049exp4a 592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  =  y ) ) ) )
51503imp 1150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  =  y ) )
52 eleq1 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  T  <->  y  e.  T ) )
5352biimparc 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  T  /\  x  =  y )  ->  x  e.  T )
5432, 51, 53ee12an 1359 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( z  =  ( 0g `  W )  ->  x  e.  T ) )
5554necon3bd 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( -.  x  e.  T  ->  z  =/=  ( 0g `  W ) ) )
5631, 55mpd 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  =/=  ( 0g `  W ) )
57103ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  W  e.  LVec )
5857adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  W  e.  LVec )
59583ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  LVec )
60 lmodabl 15620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
6111, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
Abel )
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  Abel )
63 simp1l1 1053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ph )
6463, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  T  e.  S )
6564, 32, 41syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  V )
6659, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  W  e.  LMod )
6763, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  X  e.  V )
6866, 67, 21syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( N `  { X } )  e.  S )
69 simp2r 987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  ( N `  { X } ) )
7019, 13lssel 15643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N `  { X } )  e.  S  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
z  e.  V )
7168, 69, 70syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  V )
72 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
7319, 24, 72ablpncan2 15065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V )  ->  (
( y ( +g  `  W ) z ) ( -g `  W
) y )  =  z )
7462, 65, 71, 73syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) (
-g `  W )
y )  =  z )
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
7663, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  U  e.  S )
77 simp3 962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )
78 simp1rl 1025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  x  e.  U )
7977, 78eqeltrrd 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( y
( +g  `  W ) z )  e.  U
)
80 simp1l2 1054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  T  C.  U )
813sselda 3141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  C.  U  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  U )
8280, 32, 81syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  y  e.  U )
8372, 13lssvsubcl 15649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( ( y ( +g  `  W
) z )  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( y ( +g  `  W ) z ) ( -g `  W ) y )  e.  U )
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( (
y ( +g  `  W
) z ) (
-g `  W )
y )  e.  U
)
8574, 84eqeltrrd 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  z  e.  U )
86593ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  LVec )
87633ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ph )
8887, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  X  e.  V )
89 simp12r 1074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  ( N `  { X } ) )
90 simp2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  =/=  ( 0g `  W
) )
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 15816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { z } )  =  ( N `  { X } ) )
9286, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
9387, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  U  e.  S )
94 simp3 962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 15701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { z } )  C_  U
)
9691, 95eqsstr3d 3174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T ) )  /\  ( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y
( +g  `  W ) z ) )  /\  z  =/=  ( 0g `  W )  /\  z  e.  U )  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
9756, 85, 96mpd3an23 1284 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  /\  (
y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  /\  x  =  ( y ( +g  `  W ) z ) )  ->  ( N `  { X } ) 
C_  U )
98973exp 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  (
( y  e.  T  /\  z  e.  ( N `  { X } ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  W
) z )  -> 
( N `  { X } )  C_  U
) ) )
9998rexlimdvv 2646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  ( E. y  e.  T  E. z  e.  ( N `  { X } ) x  =  ( y ( +g  `  W ) z )  ->  ( N `  { X } )  C_  U ) )
10030, 99mpd 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  /\  ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
) )  ->  ( N `  { X } )  C_  U
)
101100ex 425 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( (
x  e.  U  /\  -.  x  e.  T
)  ->  ( N `  { X } ) 
C_  U ) )
102101exlimdv 1933 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( E. x ( x  e.  U  /\  -.  x  e.  T )  ->  ( N `  { X } )  C_  U
) )
1036, 102mpd 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X } ) 
C_  U )
10415, 75sseldd 3142 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
10525lsmlub 14922 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W )  /\  U  e.  (SubGrp `  W )
)  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U
)  <->  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  C_  U ) )
10617, 23, 104, 105syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U )  <->  ( T  .(+) 
( N `  { X } ) )  C_  U ) )
1071063ad2ant1 981 . . 3  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( ( T  C_  U  /\  ( N `  { X } )  C_  U
)  <->  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) )  C_  U ) )
1084, 103, 107mpbi2and 892 . 2  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  ( T  .(+) 
( N `  { X } ) )  C_  U )
1091, 108eqssd 3157 1  |-  ( (
ph  /\  T  C.  U  /\  U  C_  ( T  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  U  =  ( T  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   E.wrex 2517    C_ wss 3113    C. wpss 3114   {csn 3600   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   Basecbs 13096   +g cplusg 13156   0gc0g 13348   -gcsg 14313  SubGrpcsubg 14563   LSSumclsm 14893   Abelcabel 15038   LModclmod 15575   LSubSpclss 15637   LSpanclspn 15676   LVecclvec 15803
This theorem is referenced by:  lshpnelb  28325  lshpcmp  28329  lsmsatcv  28351  lsmcv2  28370  dochshpncl  30725
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-tpos 6154  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-0g 13352  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-sbg 14439  df-subg 14566  df-lsm 14895  df-cmn 15039  df-abl 15040  df-mgp 15274  df-ring 15288  df-ur 15290  df-oppr 15353  df-dvdsr 15371  df-unit 15372  df-invr 15402  df-drng 15462  df-lmod 15577  df-lss 15638  df-lsp 15677  df-lvec 15804
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