Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmcv2 Unicode version

Theorem lsmcv2 27908
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 153. (spansncv2 22703 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmcv2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmcv2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmcv2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmcv2.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsmcv2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsmcv2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsmcv2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsmcv2.l  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  U )
Assertion
Ref Expression
lsmcv2  |-  ( ph  ->  U C ( U 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )

Proof of Theorem lsmcv2
StepHypRef Expression
1 lsmcv2.l . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  U )
2 lsmcv2.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
3 lsmcv2.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 15694 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lsmcv2.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
76lsssssubg 15550 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
85, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
9 lsmcv2.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
108, 9sseldd 3104 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
11 lsmcv2.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 lsmcv2.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
13 lsmcv2.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1412, 6, 13lspsncl 15569 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
155, 11, 14syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
168, 15sseldd 3104 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
172, 10, 16lssnle 14818 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( N `
 { X }
)  C_  U  <->  U  C.  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
181, 17mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  U  C.  ( U 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )
19 3simpa 957 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  ( ph  /\  x  e.  S
) )
20 simp3l 988 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  U  C.  x )
21 simp3r 989 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  x  C_  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
223adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  LVec )
239adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  U  e.  S )
24 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
2511adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  X  e.  V )
2612, 6, 13, 2, 22, 23, 24, 25lsmcv 15729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  ->  x  =  ( U  .(+) 
( N `  { X } ) ) )
2719, 20, 21, 26syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
28273exp 1155 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  ->  ( ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) ) )
2928ralrimiv 2587 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
30 lsmcv2.c . . 3  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
316, 2lsmcl 15671 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  ( N `  { X } )  e.  S
)  ->  ( U  .(+) 
( N `  { X } ) )  e.  S )
325, 9, 15, 31syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) )  e.  S
)
336, 30, 3, 9, 32lcvbr2 27901 . 2  |-  ( ph  ->  ( U C ( U  .(+)  ( N `  { X } ) )  <->  ( U  C.  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) )  /\  A. x  e.  S  (
( U  C.  x  /\  x  C_  ( U 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) ) ) )
3418, 29, 33mpbir2and 893 1  |-  ( ph  ->  U C ( U 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509    C_ wss 3078    C. wpss 3079   {csn 3544   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022  SubGrpcsubg 14450   LSSumclsm 14780   LModclmod 15462   LSubSpclss 15524   LSpanclspn 15563   LVecclvec 15690    <oLL clcv 27897
This theorem is referenced by:  lcv1  27920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691  df-lcv 27898
  Copyright terms: Public domain W3C validator