Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsmcv2 Unicode version

Theorem lsmcv2 28349
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Proposition 1(ii) of [Kalmbach] p. 153. (spansncv2 22798 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsmcv2.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lsmcv2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsmcv2.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
lsmcv2.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
lsmcv2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lsmcv2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lsmcv2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lsmcv2.l  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  U )
Assertion
Ref Expression
lsmcv2  |-  ( ph  ->  U C ( U 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )

Proof of Theorem lsmcv2
StepHypRef Expression
1 lsmcv2.l . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( N `  { X } )  C_  U )
2 lsmcv2.p . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
3 lsmcv2.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
4 lveclmod 15786 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
53, 4syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
6 lsmcv2.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
76lsssssubg 15642 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
85, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
9 lsmcv2.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
108, 9sseldd 3123 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
11 lsmcv2.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 lsmcv2.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
13 lsmcv2.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1412, 6, 13lspsncl 15661 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
155, 11, 14syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  S
)
168, 15sseldd 3123 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
172, 10, 16lssnle 14910 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( N `
 { X }
)  C_  U  <->  U  C.  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
181, 17mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  U  C.  ( U 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )
19 3simpa 957 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  ( ph  /\  x  e.  S
) )
20 simp3l 988 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  U  C.  x )
21 simp3r 989 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  x  C_  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
223adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  LVec )
239adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  U  e.  S )
24 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
2511adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  X  e.  V )
2612, 6, 13, 2, 22, 23, 24, 25lsmcv 15821 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  ->  x  =  ( U  .(+) 
( N `  { X } ) ) )
2719, 20, 21, 26syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S  /\  ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
28273exp 1155 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  ->  ( ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) ) )
2928ralrimiv 2596 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( ( U  C.  x  /\  x  C_  ( U  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
30 lsmcv2.c . . 3  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
316, 2lsmcl 15763 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S  /\  ( N `  { X } )  e.  S
)  ->  ( U  .(+) 
( N `  { X } ) )  e.  S )
325, 9, 15, 31syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) )  e.  S
)
336, 30, 3, 9, 32lcvbr2 28342 . 2  |-  ( ph  ->  ( U C ( U  .(+)  ( N `  { X } ) )  <->  ( U  C.  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) )  /\  A. x  e.  S  (
( U  C.  x  /\  x  C_  ( U 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  x  =  ( U  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) ) ) )
3418, 29, 33mpbir2and 893 1  |-  ( ph  ->  U C ( U 
.(+)  ( N `  { X } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516    C_ wss 3094    C. wpss 3095   {csn 3581   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Basecbs 13075  SubGrpcsubg 14542   LSSumclsm 14872   LModclmod 15554   LSubSpclss 15616   LSpanclspn 15655   LVecclvec 15782    <oLL clcv 28338
This theorem is referenced by:  lcv1  28361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-0g 13331  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-sbg 14418  df-subg 14545  df-cntz 14720  df-lsm 14874  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-drng 15441  df-lmod 15556  df-lss 15617  df-lsp 15656  df-lvec 15783  df-lcv 28339
  Copyright terms: Public domain W3C validator