MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmmod Structured version   Unicode version

Theorem lsmmod 15299
Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmmod.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmmod  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )

Proof of Theorem lsmmod
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) )
2 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
3 inss1 3553 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  T
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  C_  T )
5 lsmmod.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
65lsmless2 15286 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U
)  C_  T )  ->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( S  .(+)  T ) )
71, 2, 4, 6syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( S  .(+)  T ) )
8 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  S  C_  U )
9 inss2 3554 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  U
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  C_  U )
11 subgrcl 14941 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
121, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  G  e.  Grp )
13 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1413subgacs 14967 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
15 acsmre 13869 . . . . . . 7  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
1612, 14, 153syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) ) )
17 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  U  e.  (SubGrp `  G
) )
18 mreincl 13816 . . . . . 6  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  T  e.  (SubGrp `  G
)  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
1916, 2, 17, 18syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  e.  (SubGrp `  G ) )
205lsmlub 15289 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( S  C_  U  /\  ( T  i^i  U )  C_  U )  <->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  C_  U ) )
211, 19, 17, 20syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( S  C_  U  /\  ( T  i^i  U )  C_  U )  <->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  C_  U ) )
228, 10, 21mpbi2and 888 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  U )
237, 22ssind 3557 . 2  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )
24 elin 3522 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
)  <->  ( x  e.  ( S  .(+)  T )  /\  x  e.  U
) )
25 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2625, 5lsmelval 15275 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  T )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y
( +g  `  G ) z ) ) )
271, 2, 26syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( S  .(+)  T )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
281adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2919adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
30 simprll 739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  S
)
31 simprlr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  T
)
3228, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  G  e.  Grp )
3317adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
3413subgss 14937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
368adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  S  C_  U
)
3736, 30sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  U
)
3835, 37sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  (
Base `  G )
)
39 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
40 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
4113, 25, 39, 40grplinv 14843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
4232, 38, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
4342oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( 0g `  G
) ( +g  `  G
) z ) )
4440subginvcl 14945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  U )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  U )
4533, 37, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  U )
4635, 45sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  ( Base `  G
) )
47 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
4813subgss 14937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
5049, 31sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  (
Base `  G )
)
5113, 25grpass 14811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
5232, 46, 38, 50, 51syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
5313, 25, 39grplid 14827 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5432, 50, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5543, 52, 543eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  z )
56 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U
)
5725subgcl 14946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  U  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  U )
5833, 45, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  U )
5955, 58eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  U
)
60 elin 3522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( T  i^i  U )  <->  ( z  e.  T  /\  z  e.  U ) )
6131, 59, 60sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  ( T  i^i  U ) )
6225, 5lsmelvali 15276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  ( T  i^i  U
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
6328, 29, 30, 61, 62syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
6463expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
65 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  e.  U  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  U
) )
66 eleq1 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) )  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
6765, 66imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) )  <->  ( (
y ( +g  `  G
) z )  e.  U  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6864, 67syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  G
) z )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6968rexlimdvva 2829 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y ( +g  `  G
) z )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
7027, 69sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( S  .(+)  T )  ->  ( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
7170imp3a 421 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( x  e.  ( S  .(+)  T )  /\  x  e.  U
)  ->  x  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
7224, 71syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  ->  x  e.  ( S  .(+) 
( T  i^i  U
) ) ) )
7372ssrdv 3346 . 2  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( S  .(+)  T )  i^i  U ) 
C_  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
7423, 73eqssd 3357 1  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715  Moorecmre 13799  ACScacs 13802   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678  SubGrpcsubg 14930   LSSumclsm 15260
This theorem is referenced by:  lsmmod2  15300  lcvexchlem2  29770  dihmeetlem9N  32050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-subg 14933  df-lsm 15262
  Copyright terms: Public domain W3C validator