MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmmod Unicode version

Theorem lsmmod 14986
Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmmod.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
Assertion
Ref Expression
lsmmod  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )

Proof of Theorem lsmmod
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  S  e.  (SubGrp `  G
) )
2 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  T  e.  (SubGrp `  G
) )
3 inss1 3391 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  T
43a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  C_  T )
5 lsmmod.p . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
65lsmless2 14973 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U
)  C_  T )  ->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( S  .(+)  T ) )
71, 2, 4, 6syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( S  .(+)  T ) )
8 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  S  C_  U )
9 inss2 3392 . . . . 5  |-  ( T  i^i  U )  C_  U
109a1i 10 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  C_  U )
11 subgrcl 14628 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
121, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  G  e.  Grp )
13 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
1413subgacs 14654 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) ) )
15 acsmre 13556 . . . . . . 7  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  ( Base `  G
) )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G
) ) )
1612, 14, 153syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) ) )
17 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  ->  U  e.  (SubGrp `  G
) )
18 mreincl 13503 . . . . . 6  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  ( Base `  G ) )  /\  T  e.  (SubGrp `  G
)  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  ->  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
1916, 2, 17, 18syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( T  i^i  U
)  e.  (SubGrp `  G ) )
205lsmlub 14976 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( S  C_  U  /\  ( T  i^i  U )  C_  U )  <->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  C_  U ) )
211, 19, 17, 20syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( S  C_  U  /\  ( T  i^i  U )  C_  U )  <->  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  C_  U ) )
228, 10, 21mpbi2and 887 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  U )
237, 22ssind 3395 . 2  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) 
C_  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )
24 elin 3360 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
)  <->  ( x  e.  ( S  .(+)  T )  /\  x  e.  U
) )
25 eqid 2285 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
2625, 5lsmelval 14962 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( x  e.  ( S  .(+)  T )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y
( +g  `  G ) z ) ) )
271, 2, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( S  .(+)  T )  <->  E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
281adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
2919adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G ) )
30 simprll 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  S
)
31 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  T
)
3228, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  G  e.  Grp )
3317adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
3413subgss 14624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  U  C_  ( Base `  G ) )
368adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  S  C_  U
)
3736, 30sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  U
)
3835, 37sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  y  e.  (
Base `  G )
)
39 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
40 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
4113, 25, 39, 40grplinv 14530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
4232, 38, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) y )  =  ( 0g `  G ) )
4342oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( 0g `  G
) ( +g  `  G
) z ) )
4440subginvcl 14632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  y  e.  U )  ->  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  U )
4533, 37, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  U )
4635, 45sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  ( Base `  G
) )
47 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  T  e.  (SubGrp `  G ) )
4813subgss 14624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T  e.  (SubGrp `  G
)  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  T  C_  ( Base `  G ) )
5049, 31sseldd 3183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  (
Base `  G )
)
5113, 25grpass 14498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 y )  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( (
( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
5232, 46, 38, 50, 51syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( ( inv g `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
5313, 25, 39grplid 14514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5432, 50, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
5543, 52, 543eqtr3d 2325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  z )
56 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U
)
5725subgcl 14633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( inv g `  G ) `  y
)  e.  U  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U )  -> 
( ( ( inv g `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  U )
5833, 45, 56, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( ( ( inv g `  G
) `  y )
( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) )  e.  U )
5955, 58eqeltrrd 2360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  U
)
60 elin 3360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( T  i^i  U )  <->  ( z  e.  T  /\  z  e.  U ) )
6131, 59, 60sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  z  e.  ( T  i^i  U ) )
6225, 5lsmelvali 14963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( T  i^i  U )  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  ( T  i^i  U
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
6328, 29, 30, 61, 62syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( (
y  e.  S  /\  z  e.  T )  /\  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U ) )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
6463expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  T ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  U  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
65 eleq1 2345 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  e.  U  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  U
) )
66 eleq1 2345 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) )  <->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
6765, 66imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) )  <->  ( (
y ( +g  `  G
) z )  e.  U  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6864, 67syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  S  C_  U
)  /\  ( y  e.  S  /\  z  e.  T ) )  -> 
( x  =  ( y ( +g  `  G
) z )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
6968rexlimdvva 2676 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( E. y  e.  S  E. z  e.  T  x  =  ( y ( +g  `  G
) z )  -> 
( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
7027, 69sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( S  .(+)  T )  ->  ( x  e.  U  ->  x  e.  ( S 
.(+)  ( T  i^i  U ) ) ) ) )
7170imp3a 420 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( x  e.  ( S  .(+)  T )  /\  x  e.  U
)  ->  x  e.  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) ) )
7224, 71syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( x  e.  ( ( S  .(+)  T )  i^i  U )  ->  x  e.  ( S  .(+) 
( T  i^i  U
) ) ) )
7372ssrdv 3187 . 2  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( ( S  .(+)  T )  i^i  U ) 
C_  ( S  .(+)  ( T  i^i  U ) ) )
7423, 73eqssd 3198 1  |-  ( ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  T  e.  (SubGrp `  G )  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  /\  S  C_  U )  -> 
( S  .(+)  ( T  i^i  U ) )  =  ( ( S 
.(+)  T )  i^i  U
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   E.wrex 2546    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   +g cplusg 13210   0gc0g 13402  Moorecmre 13486  ACScacs 13489   Grpcgrp 14364   inv gcminusg 14365  SubGrpcsubg 14617   LSSumclsm 14947
This theorem is referenced by:  lsmmod2  14987  lcvexchlem2  29298  dihmeetlem9N  31578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-0g 13406  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-subg 14620  df-lsm 14949
  Copyright terms: Public domain W3C validator