MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem1 Unicode version

Theorem lsppratlem1 15993
Description: Lemma for lspprat 15999. Let  x  e.  ( U  \  { 0 } ) (if there is no such  x then  U is the zero subspace), and let  y  e.  ( U  \  ( N `
 { x }
) ) (assuming the conclusion is false). The goal is to write  X,  Y in terms of  x,  y, which would normally be done by solving the system of linear equations. The span equivalent of this process is lspsolv 15989 (hence the name), which we use extensively below. In this lemma, we show that since  x  e.  ( N `  { X ,  Y } ), either  x  e.  ( N `  { Y } ) or  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ). (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  { Y } )  \/  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )

Proof of Theorem lsppratlem1
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
3 lspprat.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
43snssd 3839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  { Y }  C_  V
)
6 lspprat.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
76adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  V )
8 lspprat.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
98pssssd 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
10 difss 3379 . . . . . . . . . 10  |-  ( U 
\  {  .0.  }
)  C_  U
11 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1210, 11sseldi 3254 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  x  e.  U )
139, 12sseldd 3257 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
14 prcom 3781 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
15 df-pr 3723 . . . . . . . . . 10  |-  { Y ,  X }  =  ( { Y }  u.  { X } )
1614, 15eqtri 2378 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y }  =  ( { Y }  u.  { X } )
1716fveq2i 5608 . . . . . . . 8  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )
1813, 17syl6eleq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 ( { Y }  u.  { X } ) ) )
1918anim1i 551 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  -> 
( x  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) ) )
20 eldif 3238 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( N `
 ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) )  <->  ( x  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) ) )
2119, 20sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  x  e.  ( ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) ) )
22 lspprat.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
23 lspprat.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
24 lspprat.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2522, 23, 24lspsolv 15989 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { Y }  C_  V  /\  X  e.  V  /\  x  e.  (
( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { Y }  u.  {
x } ) ) )
262, 5, 7, 21, 25syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { x } ) ) )
27 df-pr 3723 . . . . . 6  |-  { Y ,  x }  =  ( { Y }  u.  { x } )
28 prcom 3781 . . . . . 6  |-  { Y ,  x }  =  {
x ,  Y }
2927, 28eqtr3i 2380 . . . . 5  |-  ( { Y }  u.  {
x } )  =  { x ,  Y }
3029fveq2i 5608 . . . 4  |-  ( N `
 ( { Y }  u.  { x } ) )  =  ( N `  {
x ,  Y }
)
3126, 30syl6eleq 2448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )
3231ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  { Y } )  ->  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )
3332orrd 367 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  { Y } )  \/  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    \ cdif 3225    u. cun 3226    C_ wss 3228    C. wpss 3229   {csn 3716   {cpr 3717   ` cfv 5334   Basecbs 13239   0gc0g 13493   LSubSpclss 15782   LSpanclspn 15821   LVecclvec 15948
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  15997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-0g 13497  df-mnd 14460  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-drng 15607  df-lmod 15722  df-lss 15783  df-lsp 15822  df-lvec 15949
  Copyright terms: Public domain W3C validator