MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem1 Unicode version

Theorem lsppratlem1 16174
Description: Lemma for lspprat 16180. Let  x  e.  ( U  \  { 0 } ) (if there is no such  x then  U is the zero subspace), and let  y  e.  ( U  \  ( N `
 { x }
) ) (assuming the conclusion is false). The goal is to write  X,  Y in terms of  x,  y, which would normally be done by solving the system of linear equations. The span equivalent of this process is lspsolv 16170 (hence the name), which we use extensively below. In this lemma, we show that since  x  e.  ( N `  { X ,  Y } ), either  x  e.  ( N `  { Y } ) or  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ). (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  { Y } )  \/  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )

Proof of Theorem lsppratlem1
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
3 lspprat.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
43snssd 3903 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  { Y }  C_  V
)
6 lspprat.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
76adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  V )
8 lspprat.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
98pssssd 3404 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
10 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  x  e.  U )
129, 11sseldd 3309 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
13 prcom 3842 . . . . . . . . . 10  |-  { X ,  Y }  =  { Y ,  X }
14 df-pr 3781 . . . . . . . . . 10  |-  { Y ,  X }  =  ( { Y }  u.  { X } )
1513, 14eqtri 2424 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y }  =  ( { Y }  u.  { X } )
1615fveq2i 5690 . . . . . . . 8  |-  ( N `
 { X ,  Y } )  =  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )
1712, 16syl6eleq 2494 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 ( { Y }  u.  { X } ) ) )
1817anim1i 552 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  -> 
( x  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) ) )
19 eldif 3290 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( N `
 ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) )  <->  ( x  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) ) )
2018, 19sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  x  e.  ( ( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) ) )
21 lspprat.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
22 lspprat.s . . . . . 6  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
23 lspprat.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
2421, 22, 23lspsolv 16170 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { Y }  C_  V  /\  X  e.  V  /\  x  e.  (
( N `  ( { Y }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  { Y } ) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { Y }  u.  {
x } ) ) )
252, 5, 7, 20, 24syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { Y }  u.  { x } ) ) )
26 df-pr 3781 . . . . . 6  |-  { Y ,  x }  =  ( { Y }  u.  { x } )
27 prcom 3842 . . . . . 6  |-  { Y ,  x }  =  {
x ,  Y }
2826, 27eqtr3i 2426 . . . . 5  |-  ( { Y }  u.  {
x } )  =  { x ,  Y }
2928fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( N `
 ( { Y }  u.  { x } ) )  =  ( N `  {
x ,  Y }
)
3025, 29syl6eleq 2494 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )
3130ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  x  e.  ( N `  { Y } )  ->  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )
3231orrd 368 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  { Y } )  \/  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280    C. wpss 3281   {csn 3774   {cpr 3775   ` cfv 5413   Basecbs 13424   0gc0g 13678   LSubSpclss 15963   LSpanclspn 16002   LVecclvec 16129
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  16178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130
  Copyright terms: Public domain W3C validator