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Theorem lsppratlem3 15951
Description: Lemma for lspprat 15955. In the first case of lsppratlem1 15949, since  x  e/  ( N `  (/) ), also  Y  e.  ( N `  {
x } ), and since  y  e.  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { X ,  x } ) and  y  e/  ( N `  { x } ), we have  X  e.  ( N `  { x ,  y } ) as desired. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
lsppratlem3.x3  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { Y }
) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem3
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15908 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspprat.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
54snssd 3797 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  V )
6 lspprat.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 lspprat.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
86, 7lspssv 15789 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  { Y }  C_  V )  ->  ( N `  { Y } )  C_  V )
93, 5, 8syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  C_  V
)
10 lsppratlem3.x3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 { Y }
) )
119, 10sseldd 3215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
1211snssd 3797 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x }  C_  V )
13 lspprat.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 lspprat.p . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
1514pssssd 3307 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
1613snssd 3797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { X }  C_  V )
1712, 16unssd 3385 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { X } ) 
C_  V )
18 lspprat.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
196, 18, 7lspcl 15782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V )  ->  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) )  e.  S )
203, 17, 19syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) )  e.  S )
21 df-pr 3681 . . . . . . . . 9  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
22 ssun2 3373 . . . . . . . . . . 11  |-  { X }  C_  ( { x }  u.  { X } )
236, 7lspssid 15791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V )  ->  ( { x }  u.  { X } )  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
243, 17, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { X } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
2522, 24syl5ss 3224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
26 ssun1 3372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } )
2726a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } ) )
286, 7lspss 15790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( { x }  u.  { X } )  C_  V  /\  { x }  C_  ( { x }  u.  { X } ) )  ->  ( N `  { x } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
293, 17, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
30 0ss 3517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (/)  C_  V
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
(/)  C_  V )
32 uncom 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  u. 
{ Y } )  =  ( { Y }  u.  (/) )
33 un0 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { Y }  u.  (/) )  =  { Y }
3432, 33eqtri 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (/)  u. 
{ Y } )  =  { Y }
3534fveq2i 5566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N `
 ( (/)  u.  { Y } ) )  =  ( N `  { Y } )
3610, 35syl6eleqr 2407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  x  e.  ( N `
 ( (/)  u.  { Y } ) ) )
37 lsppratlem1.x2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
38 eldifn 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( U  \  {  .0.  } )  ->  -.  x  e.  {  .0.  } )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  {  .0.  } )
40 lsppratlem1.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4140, 7lsp0 15815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 (/) )  =  {  .0.  } )
423, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( N `  (/) )  =  {  .0.  } )
4342eleq2d 2383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  (/) )  <->  x  e.  {  .0.  } ) )
4439, 43mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  x  e.  ( N `  (/) ) )
45 eldif 3196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( N `
 ( (/)  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  (/) ) )  <-> 
( x  e.  ( N `  ( (/)  u. 
{ Y } ) )  /\  -.  x  e.  ( N `  (/) ) ) )
4636, 44, 45sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  x  e.  ( ( N `  ( (/)  u. 
{ Y } ) )  \  ( N `
 (/) ) ) )
476, 18, 7lspsolv 15945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( (/)  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  x  e.  ( ( N `  ( (/)  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  (/) ) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( (/) 
u.  { x }
) ) )
481, 31, 4, 46, 47syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( (/)  u.  {
x } ) ) )
49 uncom 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  u. 
{ x } )  =  ( { x }  u.  (/) )
50 un0 3513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x }  u.  (/) )  =  { x }
5149, 50eqtri 2336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ x } )  =  { x }
5251fveq2i 5566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N `
 ( (/)  u.  {
x } ) )  =  ( N `  { x } )
5348, 52syl6eleq 2406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x }
) )
5429, 53sseldd 3215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { X } ) ) )
5554snssd 3797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5625, 55unssd 3385 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5721, 56syl5eqss 3256 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
5818, 7lspssp 15794 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) )  e.  S  /\  { X ,  Y }  C_  ( N `  ( {
x }  u.  { X } ) ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
593, 20, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
6015, 59sstrd 3223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) )
61 ssdif 3345 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { X } ) )  ->  ( U  \ 
( N `  {
x } ) ) 
C_  ( ( N `
 ( { x }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
6260, 61syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  ( ( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) )
63 lsppratlem1.y2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
6462, 63sseldd 3215 . . . 4  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( N `  ( { x }  u.  { X } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
656, 18, 7lspsolv 15945 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { x }  C_  V  /\  X  e.  V  /\  y  e.  (
( N `  ( { x }  u.  { X } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) ) )
661, 12, 13, 64, 65syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { y } ) ) )
67 df-pr 3681 . . . 4  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
6867fveq2i 5566 . . 3  |-  ( N `
 { x ,  y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) )
6966, 68syl6eleqr 2407 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
70 difss 3337 . . . . . . . . 9  |-  ( U 
\  ( N `  { x } ) )  C_  U
71 lspprat.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
726, 18lssss 15743 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
7371, 72syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
7470, 73syl5ss 3224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  V )
7574, 63sseldd 3215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  y  e.  V )
7675snssd 3797 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { y }  C_  V )
7712, 76unssd 3385 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { y } ) 
C_  V )
7867, 77syl5eqss 3256 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  V )
79 snsspr1 3801 . . . . 5  |-  { x }  C_  { x ,  y }
8079a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x }  C_  { x ,  y } )
816, 7lspss 15790 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  y } 
C_  V  /\  {
x }  C_  { x ,  y } )  ->  ( N `  { x } ) 
C_  ( N `  { x ,  y } ) )
823, 78, 80, 81syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
8382, 53sseldd 3215 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
8469, 83jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    \ cdif 3183    u. cun 3184    C_ wss 3186    C. wpss 3187   (/)c0 3489   {csn 3674   {cpr 3675   ` cfv 5292   Basecbs 13195   0gc0g 13449   LModclmod 15676   LSubSpclss 15738   LSpanclspn 15777   LVecclvec 15904
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  15953
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-0g 13453  df-mnd 14416  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-drng 15563  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-lvec 15905
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