MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem4 Unicode version

Theorem lsppratlem4 16002
Description: Lemma for lspprat 16005. In the second case of lsppratlem1 15999,  y  e.  ( N `  { X ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  Y } ) and  y  e/  ( N `  { x } ) implies  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) and thus  X  e.  ( N `  { x ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) as well. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
lsppratlem4.x3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )

Proof of Theorem lsppratlem4
StepHypRef Expression
1 lspprat.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15958 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lspprat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 lspprat.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
6 lspprat.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
7 difss 3379 . . . . . . 7  |-  ( U 
\  {  .0.  }
)  C_  U
8 lspprat.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
94, 5lssss 15793 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  V )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
117, 10syl5ss 3266 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  {  .0.  } )  C_  V
)
12 lsppratlem1.x2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1311, 12sseldd 3257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  V )
14 difss 3379 . . . . . . 7  |-  ( U 
\  ( N `  { x } ) )  C_  U
1514, 10syl5ss 3266 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  V )
16 lsppratlem1.y2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
1715, 16sseldd 3257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  V )
184, 5, 6, 3, 13, 17lspprcl 15834 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  y } )  e.  S )
19 df-pr 3723 . . . . 5  |-  { x ,  Y }  =  ( { x }  u.  { Y } )
20 snsspr1 3843 . . . . . . 7  |-  { x }  C_  { x ,  y }
21 prssi 3850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  { x ,  y }  C_  V )
2213, 17, 21syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  V )
234, 6lspssid 15841 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  y } 
C_  V )  ->  { x ,  y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
243, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { x ,  y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
2520, 24syl5ss 3266 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
2613snssd 3839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { x }  C_  V )
27 lspprat.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
28 lspprat.p . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
2928pssssd 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { X ,  Y } ) )
304, 5, 6, 3, 13, 27lspprcl 15834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  Y }
)  e.  S )
31 df-pr 3723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { X ,  Y }  =  ( { X }  u.  { Y } )
32 lsppratlem4.x3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  Y } ) )
3332snssd 3839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { X }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
34 snsspr2 3844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { Y }  C_  { x ,  Y }
35 prssi 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  { x ,  Y }  C_  V )
3613, 27, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  V )
374, 6lspssid 15841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  {
x ,  Y }  C_  V )  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
383, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
3934, 38syl5ss 3266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4033, 39unssd 3427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( { X }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4131, 40syl5eqss 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { X ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
425, 6lspssp 15844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { x ,  Y } )  e.  S  /\  { X ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
433, 30, 41, 42syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4429, 43sstrd 3265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  { x ,  Y } ) )
4519fveq2i 5611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 { x ,  Y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )
4644, 45syl6sseq 3300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  C_  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) )
47 ssdif 3387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U 
C_  ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )  ->  ( U  \ 
( N `  {
x } ) ) 
C_  ( ( N `
 ( { x }  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  \  ( N `  { x } ) )  C_  ( ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) )
4948, 16sseldd 3257 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  y  e.  ( ( N `  ( { x }  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  {
x } ) ) )
504, 5, 6lspsolv 15995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( { x }  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  y  e.  (
( N `  ( { x }  u.  { Y } ) ) 
\  ( N `  { x } ) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) ) )
511, 26, 27, 49, 50syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 ( { x }  u.  { y } ) ) )
52 df-pr 3723 . . . . . . . . 9  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
5352fveq2i 5611 . . . . . . . 8  |-  ( N `
 { x ,  y } )  =  ( N `  ( { x }  u.  { y } ) )
5451, 53syl6eleqr 2449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
5554snssd 3839 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { Y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5625, 55unssd 3427 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x }  u.  { Y } ) 
C_  ( N `  { x ,  y } ) )
5719, 56syl5eqss 3298 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x ,  Y }  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
585, 6lspssp 15844 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { x ,  y } )  e.  S  /\  {
x ,  Y }  C_  ( N `  {
x ,  y } ) )  ->  ( N `  { x ,  Y } )  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
593, 18, 57, 58syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
x ,  Y }
)  C_  ( N `  { x ,  y } ) )
6059, 32sseldd 3257 . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  ( N `
 { x ,  y } ) )
6160, 54jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    \ cdif 3225    u. cun 3226    C_ wss 3228    C. wpss 3229   {csn 3716   {cpr 3717   ` cfv 5337   Basecbs 13245   0gc0g 13499   LModclmod 15726   LSubSpclss 15788   LSpanclspn 15827   LVecclvec 15954
This theorem is referenced by:  lsppratlem5  16003
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-invr 15553  df-drng 15613  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-lvec 15955
  Copyright terms: Public domain W3C validator