MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsppratlem5 Unicode version

Theorem lsppratlem5 16211
Description: Lemma for lspprat 16213. Combine the two cases and show a contradiction to  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) under the assumptions on  x and  y. (Contributed by NM, 29-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspprat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspprat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspprat.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspprat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspprat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lspprat.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspprat.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspprat.p  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
lsppratlem1.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsppratlem1.x2  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
lsppratlem1.y2  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
Assertion
Ref Expression
lsppratlem5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  U )

Proof of Theorem lsppratlem5
StepHypRef Expression
1 lspprat.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspprat.s . . . 4  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspprat.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 lspprat.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
6 lspprat.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  U  e.  S )
8 lspprat.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
98adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  X  e.  V )
10 lspprat.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1110adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  Y  e.  V )
12 lspprat.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C.  ( N `
 { X ,  Y } ) )
1312adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
14 lsppratlem1.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
15 lsppratlem1.x2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  x  e.  ( U 
\  {  .0.  }
) )
1615adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
17 lsppratlem1.y2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
1817adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  -> 
y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
19 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  ->  x  e.  ( N `  { Y } ) )
201, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 18, 19lsppratlem3 16209 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N `  { Y } ) )  -> 
( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
214adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  W  e.  LVec )
226adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  U  e.  S
)
238adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  X  e.  V
)
2410adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  Y  e.  V
)
2512adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y } ) )
2615adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
2717adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  y  e.  ( U  \  ( N `
 { x }
) ) )
28 simpr 448 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )
291, 2, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 14, 26, 27, 28lsppratlem4 16210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  ( N `  { x ,  Y } ) )  ->  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )
301, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 17lsppratlem1 16207 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( N `  { Y } )  \/  X  e.  ( N `  {
x ,  Y }
) ) )
3120, 29, 30mpjaodan 762 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) ) )
324adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  W  e.  LVec )
336adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  U  e.  S )
348adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  X  e.  V )
3510adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  Y  e.  V )
3612adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  U  C.  ( N `  { X ,  Y }
) )
3715adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  x  e.  ( U  \  {  .0.  } ) )
3817adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  -> 
y  e.  ( U 
\  ( N `  { x } ) ) )
39 simprl 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  X  e.  ( N `  { x ,  y } ) )
40 simprr 734 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  { x ,  y } ) )
411, 2, 3, 32, 33, 34, 35, 36, 14, 37, 38, 39, 40lsppratlem2 16208 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( N `  {
x ,  y } )  /\  Y  e.  ( N `  {
x ,  y } ) ) )  -> 
( N `  { X ,  Y }
)  C_  U )
4231, 41mpdan 650 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X ,  Y }
)  C_  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    \ cdif 3309    C_ wss 3312    C. wpss 3313   {csn 3806   {cpr 3807   ` cfv 5445   Basecbs 13457   0gc0g 13711   LSubSpclss 15996   LSpanclspn 16035   LVecclvec 16162
This theorem is referenced by:  lsppratlem6  16212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-tpos 6470  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-0g 13715  df-mnd 14678  df-grp 14800  df-minusg 14801  df-sbg 14802  df-cmn 15402  df-abl 15403  df-mgp 15637  df-rng 15651  df-ur 15653  df-oppr 15716  df-dvdsr 15734  df-unit 15735  df-invr 15765  df-drng 15825  df-lmod 15940  df-lss 15997  df-lsp 16036  df-lvec 16163
  Copyright terms: Public domain W3C validator