MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncv0 Unicode version

Theorem lspsncv0 15894
Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncv0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsncv0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspsncv0.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsncv0.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsncv0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsncv0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsncv0.e  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lspsncv0  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  } 
C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
Distinct variable group:    ph, y
Allowed substitution hints:    S( y)    N( y)    V( y)    W( y)    X( y)    .0. ( y)

Proof of Theorem lspsncv0
StepHypRef Expression
1 df-pss 3170 . . . . 5  |-  ( {  .0.  }  C.  y  <->  ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y ) )
2 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y )  ->  {  .0.  }  =/=  y )
3 necom 2529 . . . . . . 7  |-  ( {  .0.  }  =/=  y  <->  y  =/=  {  .0.  }
)
4 df-ne 2450 . . . . . . 7  |-  ( y  =/=  {  .0.  }  <->  -.  y  =  {  .0.  } )
53, 4bitri 242 . . . . . 6  |-  ( {  .0.  }  =/=  y  <->  -.  y  =  {  .0.  } )
62, 5sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y )  ->  -.  y  =  {  .0.  } )
71, 6sylbi 189 . . . 4  |-  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  =  {  .0.  } )
8 lspsncv0.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
98ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  ->  W  e.  LVec )
10 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
y  e.  S )
11 lspsncv0.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1211ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  V )
13 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
y  C_  ( N `  { X } ) )
14 lspsncv0.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 lspsncv0.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
16 lspsncv0.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
17 lspsncv0.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1814, 15, 16, 17lspsnat 15893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  y  e.  S  /\  X  e.  V )  /\  y  C_  ( N `
 { X }
) )  ->  (
y  =  ( N `
 { X }
)  \/  y  =  {  .0.  } ) )
199, 10, 12, 13, 18syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( y  =  ( N `  { X } )  \/  y  =  {  .0.  } ) )
2019orcomd 379 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( y  =  {  .0.  }  \/  y  =  ( N `  { X } ) ) )
2120ord 368 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( -.  y  =  {  .0.  }  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) )
2221ex 425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  C_  ( N `  { X } )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) ) )
2322com23 74 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  ( y  C_  ( N `  { X } )  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) ) )
24 npss 3288 . . . . 5  |-  ( -.  y  C.  ( N `
 { X }
)  <->  ( y  C_  ( N `  { X } )  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) )
2523, 24syl6ibr 220 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
267, 25syl5 30 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
2726ralrimiva 2628 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
28 ralinexa 2590 . 2  |-  ( A. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) )  <->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
2927, 28sylib 190 1  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  } 
C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546    C_ wss 3154    C. wpss 3155   {csn 3642   ` cfv 5222   Basecbs 13143   0gc0g 13395   LSubSpclss 15684   LSpanclspn 15723   LVecclvec 15850
This theorem is referenced by:  lsatcv0  28489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13148  df-sets 13149  df-ress 13150  df-plusg 13216  df-mulr 13217  df-0g 13399  df-mnd 14362  df-grp 14484  df-minusg 14485  df-sbg 14486  df-cmn 15086  df-abl 15087  df-mgp 15321  df-rng 15335  df-ur 15337  df-oppr 15400  df-dvdsr 15418  df-unit 15419  df-invr 15449  df-drng 15509  df-lmod 15624  df-lss 15685  df-lsp 15724  df-lvec 15851
  Copyright terms: Public domain W3C validator