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Theorem lspsncv0 15915
Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncv0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsncv0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspsncv0.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsncv0.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsncv0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsncv0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsncv0.e  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lspsncv0  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  } 
C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
Distinct variable group:    ph, y
Allowed substitution hints:    S( y)    N( y)    V( y)    W( y)    X( y)    .0. ( y)

Proof of Theorem lspsncv0
StepHypRef Expression
1 df-pss 3181 . . . . 5  |-  ( {  .0.  }  C.  y  <->  ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y ) )
2 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y )  ->  {  .0.  }  =/=  y )
3 necom 2540 . . . . . . 7  |-  ( {  .0.  }  =/=  y  <->  y  =/=  {  .0.  }
)
4 df-ne 2461 . . . . . . 7  |-  ( y  =/=  {  .0.  }  <->  -.  y  =  {  .0.  } )
53, 4bitri 240 . . . . . 6  |-  ( {  .0.  }  =/=  y  <->  -.  y  =  {  .0.  } )
62, 5sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y )  ->  -.  y  =  {  .0.  } )
71, 6sylbi 187 . . . 4  |-  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  =  {  .0.  } )
8 lspsncv0.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
98ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  ->  W  e.  LVec )
10 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
y  e.  S )
11 lspsncv0.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  V )
13 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
y  C_  ( N `  { X } ) )
14 lspsncv0.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 lspsncv0.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
16 lspsncv0.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
17 lspsncv0.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1814, 15, 16, 17lspsnat 15914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  y  e.  S  /\  X  e.  V )  /\  y  C_  ( N `
 { X }
) )  ->  (
y  =  ( N `
 { X }
)  \/  y  =  {  .0.  } ) )
199, 10, 12, 13, 18syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( y  =  ( N `  { X } )  \/  y  =  {  .0.  } ) )
2019orcomd 377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( y  =  {  .0.  }  \/  y  =  ( N `  { X } ) ) )
2120ord 366 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( -.  y  =  {  .0.  }  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) )
2221ex 423 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  C_  ( N `  { X } )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) ) )
2322com23 72 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  ( y  C_  ( N `  { X } )  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) ) )
24 npss 3299 . . . . 5  |-  ( -.  y  C.  ( N `
 { X }
)  <->  ( y  C_  ( N `  { X } )  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) )
2523, 24syl6ibr 218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
267, 25syl5 28 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
2726ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
28 ralinexa 2601 . 2  |-  ( A. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) )  <->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
2927, 28sylib 188 1  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  } 
C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165    C. wpss 3166   {csn 3653   ` cfv 5271   Basecbs 13164   0gc0g 13416   LSubSpclss 15705   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871
This theorem is referenced by:  lsatcv0  29843
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872
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