Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncv0 Unicode version

Theorem lspsncv0 16177
 Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncv0.v
lspsncv0.z
lspsncv0.s
lspsncv0.n
lspsncv0.w
lspsncv0.x
lspsncv0.e
Assertion
Ref Expression
lspsncv0
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem lspsncv0
StepHypRef Expression
1 df-pss 3300 . . . . 5
2 simpr 448 . . . . . 6
3 necom 2652 . . . . . . 7
4 df-ne 2573 . . . . . . 7
53, 4bitri 241 . . . . . 6
62, 5sylib 189 . . . . 5
71, 6sylbi 188 . . . 4
8 lspsncv0.w . . . . . . . . . . 11
98ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
10 simplr 732 . . . . . . . . . 10
11 lspsncv0.x . . . . . . . . . . 11
1211ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
13 simpr 448 . . . . . . . . . 10
14 lspsncv0.v . . . . . . . . . . 11
15 lspsncv0.z . . . . . . . . . . 11
16 lspsncv0.s . . . . . . . . . . 11
17 lspsncv0.n . . . . . . . . . . 11
1814, 15, 16, 17lspsnat 16176 . . . . . . . . . 10
199, 10, 12, 13, 18syl31anc 1187 . . . . . . . . 9
2019orcomd 378 . . . . . . . 8
2120ord 367 . . . . . . 7
2221ex 424 . . . . . 6
2322com23 74 . . . . 5
24 npss 3421 . . . . 5
2523, 24syl6ibr 219 . . . 4
267, 25syl5 30 . . 3
2726ralrimiva 2753 . 2
28 ralinexa 2715 . 2
2927, 28sylib 189 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2571  wral 2670  wrex 2671   wss 3284   wpss 3285  csn 3778  cfv 5417  cbs 13428  c0g 13682  clss 15967  clspn 16006  clvec 16133 This theorem is referenced by:  lsatcv0  29518 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lvec 16134
 Copyright terms: Public domain W3C validator