MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncv0 Unicode version

Theorem lspsncv0 16177
Description: The span of a singleton covers the zero subspace, using Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68 for "covers".) (Contributed by NM, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncv0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsncv0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lspsncv0.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsncv0.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsncv0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lspsncv0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsncv0.e  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lspsncv0  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  } 
C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
Distinct variable group:    ph, y
Allowed substitution hints:    S( y)    N( y)    V( y)    W( y)    X( y)    .0. ( y)

Proof of Theorem lspsncv0
StepHypRef Expression
1 df-pss 3300 . . . . 5  |-  ( {  .0.  }  C.  y  <->  ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y ) )
2 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y )  ->  {  .0.  }  =/=  y )
3 necom 2652 . . . . . . 7  |-  ( {  .0.  }  =/=  y  <->  y  =/=  {  .0.  }
)
4 df-ne 2573 . . . . . . 7  |-  ( y  =/=  {  .0.  }  <->  -.  y  =  {  .0.  } )
53, 4bitri 241 . . . . . 6  |-  ( {  .0.  }  =/=  y  <->  -.  y  =  {  .0.  } )
62, 5sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( {  .0.  }  C_  y  /\  {  .0.  }  =/=  y )  ->  -.  y  =  {  .0.  } )
71, 6sylbi 188 . . . 4  |-  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  =  {  .0.  } )
8 lspsncv0.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
98ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  ->  W  e.  LVec )
10 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
y  e.  S )
11 lspsncv0.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
1211ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  ->  X  e.  V )
13 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
y  C_  ( N `  { X } ) )
14 lspsncv0.v . . . . . . . . . . 11  |-  V  =  ( Base `  W
)
15 lspsncv0.z . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
16 lspsncv0.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
17 lspsncv0.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1814, 15, 16, 17lspsnat 16176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  y  e.  S  /\  X  e.  V )  /\  y  C_  ( N `
 { X }
) )  ->  (
y  =  ( N `
 { X }
)  \/  y  =  {  .0.  } ) )
199, 10, 12, 13, 18syl31anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( y  =  ( N `  { X } )  \/  y  =  {  .0.  } ) )
2019orcomd 378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( y  =  {  .0.  }  \/  y  =  ( N `  { X } ) ) )
2120ord 367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  S )  /\  y  C_  ( N `  { X } ) )  -> 
( -.  y  =  {  .0.  }  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) )
2221ex 424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  (
y  C_  ( N `  { X } )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) ) )
2322com23 74 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  ( y  C_  ( N `  { X } )  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) ) )
24 npss 3421 . . . . 5  |-  ( -.  y  C.  ( N `
 { X }
)  <->  ( y  C_  ( N `  { X } )  ->  y  =  ( N `  { X } ) ) )
2523, 24syl6ibr 219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( -.  y  =  {  .0.  }  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
267, 25syl5 30 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  S )  ->  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
2726ralrimiva 2753 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
28 ralinexa 2715 . 2  |-  ( A. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  ->  -.  y  C.  ( N `  { X } ) )  <->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  }  C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
2927, 28sylib 189 1  |-  ( ph  ->  -.  E. y  e.  S  ( {  .0.  } 
C.  y  /\  y  C.  ( N `  { X } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671    C_ wss 3284    C. wpss 3285   {csn 3778   ` cfv 5417   Basecbs 13428   0gc0g 13682   LSubSpclss 15967   LSpanclspn 16006   LVecclvec 16133
This theorem is referenced by:  lsatcv0  29518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lvec 16134
  Copyright terms: Public domain W3C validator