MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnne2 Unicode version

Theorem lspsnne2 15873
Description: Two ways to express that vectors have different spans. (Contributed by NM, 20-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnne2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsnne2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lspsnne2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lspsnne2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lspsnne2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lspsnne2.e  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
Assertion
Ref Expression
lspsnne2  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )

Proof of Theorem lspsnne2
StepHypRef Expression
1 lspsnne2.e . 2  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
2 eqimss 3232 . . . 4  |-  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  C_  ( N `  { Y } ) )
3 lspsnne2.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
5 lspsnne2.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
6 lspsnne2.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lspsnne2.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
83, 4, 5lspsncl 15736 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
96, 7, 8syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (
LSubSp `  W ) )
10 lspsnne2.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
113, 4, 5, 6, 9, 10lspsnel5 15754 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( N `  { Y } )  <->  ( N `  { X } ) 
C_  ( N `  { Y } ) ) )
122, 11syl5ibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =  ( N `  { Y } )  ->  X  e.  ( N `  { Y } ) ) )
1312necon3bd 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  X  e.  ( N `  { Y } )  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) ) )
141, 13mpd 14 1  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448    C_ wss 3154   {csn 3642   ` cfv 5257   Basecbs 13150   LModclmod 15629   LSubSpclss 15691   LSpanclspn 15730
This theorem is referenced by:  lspsnnecom  15874  lspexchn1  15885  hdmaplem1  32034  hdmaplem2N  32035  mapdh9a  32053  hdmap1eulem  32087  hdmap11lem1  32107  hdmap11lem2  32108  hdmaprnlem1N  32115  hdmaprnlem3N  32116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-plusg 13223  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-ur 15344  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lsp 15731
  Copyright terms: Public domain W3C validator