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Theorem lssats 27891
Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 22771 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lssats.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lssats.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
Assertion
Ref Expression
lssats  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, N    x, S    x, U
Allowed substitution hint:    W( x)

Proof of Theorem lssats
StepHypRef Expression
1 eleq1 2313 . . . . 5  |-  ( y  =  ( 0g `  W )  ->  (
y  e.  ( N `
 U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  <->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } ) ) )
2 simplll 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  W  e.  LMod )
3 simpllr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  U  e.  S )
4 simplr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  U )
5 eqid 2253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
75, 6lssel 15530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  S  /\  y  e.  U )  ->  y  e.  ( Base `  W ) )
83, 4, 7syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
9 lssats.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
105, 6, 9lspsncl 15569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  S
)
112, 8, 10syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  S
)
126, 9lspid 15574 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { y } )  e.  S
)  ->  ( N `  ( N `  {
y } ) )  =  ( N `  { y } ) )
132, 11, 12syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  ( N `  { y } ) )  =  ( N `
 { y } ) )
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
156, 14lsatlss 27875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  A  C_  S )
1615adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  A  C_  S )
17 rabss2 3177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  S  ->  { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  { x  e.  S  |  x  C_  U } )
18 uniss 3748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  { x  e.  S  |  x  C_  U }  ->  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_ 
U. { x  e.  S  |  x  C_  U } )
1916, 17, 183syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  U. { x  e.  S  |  x  C_  U }
)
20 unimax 3759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  =  U )
215, 6lssss 15529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  S  ->  U  C_  ( Base `  W
) )
2220, 21eqsstrd 3133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  S  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
2322adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
2419, 23sstrd 3110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
2524ad2antrr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W )
)
26 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  =/=  ( 0g `  W
) )
27 eqid 2253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 27871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
)  /\  y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( N `  { y } )  e.  A )
292, 8, 26, 28syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  A
)
306, 9, 2, 3, 4lspsnel5a 15588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  C_  U
)
31 sseq1 3120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( N `  { y } )  ->  ( x  C_  U 
<->  ( N `  {
y } )  C_  U ) )
3231elrab 2860 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  { y } )  e.  {
x  e.  A  |  x  C_  U }  <->  ( ( N `  { y } )  e.  A  /\  ( N `  {
y } )  C_  U ) )
3329, 30, 32sylanbrc 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  e.  {
x  e.  A  |  x  C_  U } )
34 elssuni 3753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  { y } )  e.  {
x  e.  A  |  x  C_  U }  ->  ( N `  { y } )  C_  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } )
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  C_  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } )
365, 9lspss 15576 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  ( N `  { y } ) 
C_  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  ->  ( N `  ( N `  { y } ) )  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
372, 25, 35, 36syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  ( N `  { y } ) )  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
3813, 37eqsstr3d 3134 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  ( N `  { y } )  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
395, 9lspsnid 15585 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
402, 8, 39syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  {
y } ) )
4138, 40sseldd 3104 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. 
LMod  /\  U  e.  S
)  /\  y  e.  U )  /\  y  =/=  ( 0g `  W
) )  ->  y  e.  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
42 simpll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  W  e.  LMod )
435, 6, 9lspcl 15568 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W
) )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S )
4424, 43syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S )
4544adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S
)
4627, 6lss0cl 15539 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  e.  S )  ->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
4742, 45, 46syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  ( 0g `  W )  e.  ( N `  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
481, 41, 47pm2.61ne 2487 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  y  e.  U
)  ->  y  e.  ( N `  U. {
x  e.  A  |  x  C_  U } ) )
4948ex 425 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  (
y  e.  U  -> 
y  e.  ( N `
 U. { x  e.  A  |  x  C_  U } ) ) )
5049ssrdv 3106 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  C_  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
51 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  W  e.  LMod )
525, 9lspss 15576 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U. { x  e.  S  |  x  C_  U }  C_  ( Base `  W
)  /\  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }  C_  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U } )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
)  C_  ( N `  U. { x  e.  S  |  x  C_  U } ) )
5351, 23, 19, 52syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  C_  ( N `  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U } ) )
5420adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U. {
x  e.  S  |  x  C_  U }  =  U )
5554fveq2d 5381 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  S  |  x  C_  U } )  =  ( N `  U
) )
566, 9lspid 15574 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U )  =  U )
5755, 56eqtrd 2285 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  S  |  x  C_  U } )  =  U )
5853, 57sseqtrd 3135 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U } )  C_  U )
5950, 58eqssd 3117 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  ->  U  =  ( N `  U. { x  e.  A  |  x  C_  U }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   {crab 2512    C_ wss 3078   {csn 3544   U.cuni 3727   ` cfv 4592   Basecbs 13022   0gc0g 13274   LModclmod 15462   LSubSpclss 15524   LSpanclspn 15563  LSAtomsclsa 27853
This theorem is referenced by:  lpssat  27892  lssatle  27894  lssat  27895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-plusg 13095  df-0g 13278  df-mnd 14202  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lsatoms 27855
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