Theorem lt01 5653

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20.

Assertion

Ref	Expression
lt01	|- 0 < 1

Proof of Theorem lt01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1ne0 5252	. . 3 |- 1 =/= 0
2		1re 5407	. . . 4 |- 1 e. RR
3	2	msqgt0 5587	. . 3 |- (1 =/= 0 -> 0 < (1 x. 1))
4	1, 3	ax-mp 7	. 2 |- 0 < (1 x. 1)
5		ax1cn 5241	. . 3 |- 1 e. CC
6	5	mulid1 5304	. 2 |- (1 x. 1) = 1
7	4, 6	breqtr 2628	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   < clt 5458

This theorem is referenced by:  eqneg 5760  elimgt0 5765  ltp1t 5767  recgt0i 5770  ltm1t 5771  mulgt1t 5801  lemulge11t 5804  recgt0t 5815  reclt1t 5846  recgt1t 5847  recgt1it 5848  recp1lt1 5849  recrecltt 5850  halfpos 5852  posex 5856  nnge1t 5891  nngt0t 5894  0nnn 5896  nnrecgt0t 5900  nnleltp1t 5901  2pos 5936  3pos 5938  4pos 5939  5pos 5940  6pos 5941  7pos 5942  8pos 5943  9pos 5944  10pos 5945  halflt1 5977  lt0nnn0 6063  elnnz1 6102  zltp1let 6128  recnzt 6138  rpexpclt 6514  expgt0t 6520  expge0t 6522  expordit 6531  exple1t 6538  expnbndt 6585  nnesq 6592  sqrlem1 6603  sqrlem2 6604  sqrlem3 6605  sqrlem6 6608  sqrlem8 6610  sqrlem9 6611  sqrlem10 6612  sqrlem11 6613  sqrlem16 6618  sqrlem19 6621  sqrlem20 6622  sqrlem21 6623  sqrlem22 6624  sqr1 6646  sqr2gt1lt2 6649  inelr 6665  nthruz 6677  absexpt 6803  abs1m 6841  caubnd 6863  faclbnd3 6884  faclbnd4lem1 6885  bcpasc 6907  climmullem1 7056  climmullem2 7057  climmullem3 7058  climmullem4 7059  fnsmnt 7161  expcnvlem2 7163  expcnvlem5 7166  geolim 7172  geolim1 7174  georeclim 7175  geoisumr 7178  mulc1cncf 7214  efcltlem1 7246  ef01tlub 7327  absef01tlub 7329  eirrlem4 7333  efgt0 7345  eflegeolem2 7354  eflegeot 7356  efm1legeot 7358  efcnlem4 7362  reeff1olem1 7364  reeff1olem1OLD 7366  sinbndt 7407  cosbndt 7408  cos1bnd 7416  sin01gt0 7418  sincos1sgn 7421  blex 7789  opnm 7800  tgioolem 7853  dscmet 7856  caun0 7880  nvm1 8231  nvmtri 8238  nv1 8243  sm1cnilem 8281  nmosetn0 8360  nmo0 8383  blocnilem 8395  minveclem25 8500  sinhalfpilem 8598  efifolem1 8637  efifolem5 8641  efifolem7 8643  circgrpOLD 8658  log1 8688  log1OLD 8707  normlem7tALT 8906  norm-ii 8925  normsub 8929  norm1t 9042  projlem2 9103  projlem6 9107  projlem28 9129  nmopsetn0 9709  nmfnsetn0 9722  nmopge0t 9751  nmfnge0t 9767  0cnop 9819  0cnfn 9820  nmop0 9826  nmfn0 9827  nmcopexlem2 9867  nmcopexlem5 9870  nmcfnexlem2 9896  nmcfnexlem5 9899  hstle1t 10063  strlem1 10087  strlem3a 10089  strlem5 10092  jplem1 10105  iintlem2 10477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463

Copyright terms: Public domain