Theorem lt01 5836

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20.

Assertion

Ref	Expression
lt01	|- 0 < 1

Proof of Theorem lt01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1ne0 5434	. . 3 |- 1 =/= 0
2		1re 5589	. . . 4 |- 1 e. RR
3	2	msqgt0i 5767	. . 3 |- (1 =/= 0 -> 0 < (1 x. 1))
4	1, 3	ax-mp 7	. 2 |- 0 < (1 x. 1)
5		ax1cn 5423	. . 3 |- 1 e. CC
6	5	mulid1i 5486	. 2 |- (1 x. 1) = 1
7	4, 6	breqtri 2711	1 |- 0 < 1

Syntax hints:   =/= wne 1628   class class class wbr 2692  (class class class)co 4021  0cc0 5388  1c1 5389   x. cmul 5393   < clt 5640

This theorem is referenced by:  eqnegi 5944  elimgt0 5949  ltp1 5951  recgt0ii 5954  ltm1 5955  mulgt1 5989  lemulge11 5992  recgt0 6005  reclt1 6043  recgt1 6044  recgt1i 6045  recp1lt1 6046  recreclt 6047  halfposi 6049  posexi 6053  nnge1 6088  nngt0 6091  0nnn 6093  nnrecgt0 6099  nnleltp1 6100  2pos 6135  3pos 6137  4pos 6138  5pos 6139  6pos 6140  7pos 6141  8pos 6142  9pos 6143  10pos 6144  halflt1 6176  1rp 6194  lt0nnn0 6284  elnnz1 6323  zltp1le 6349  recnz 6362  cardfz 6671  expgt0 6783  expge0 6785  expordi 6797  exple1 6804  expnbnd 6852  expnlbnd 6853  expnlbnd2 6854  nnesqi 6863  sqrlem1 6874  sqrlem2 6875  sqrlem3 6876  sqrlem6 6879  sqrlem8 6881  sqrlem9 6882  sqrlem10 6883  sqrlem11 6884  sqrlem16 6889  sqrlem19 6892  sqrlem20 6893  sqrlem21 6894  sqrlem22 6895  sqr1 6917  sqr2gt1lt2 6920  inelr 6936  nthruz 6947  absexp 7070  abs1mi 7107  caubndi 7129  faclbnd3 7150  faclbnd4lem1 7151  bcpasci 7172  climmullem1 7323  climmullem2 7324  climmullem3 7325  climmullem4 7326  arisumi 7430  expcnvlem2 7432  expcnvlem5 7435  geolim 7442  geolim1 7444  georeclim 7445  geoisumr 7448  efcltlem1 7509  ef01tlubi 7591  absef01tlubi 7593  eirrlem4 7597  efgt0i 7612  eflegeolem2 7622  eflegeo 7624  efm1legeo 7626  efcnlem4 7630  reeff1olem1 7632  sinbnd 7674  cosbnd 7675  cos1bnd 7683  sin01gt0 7685  sincos1sgn 7688  efieq1re 7694  blex 8059  opnm 8070  tgioolem 8125  dscmet 8129  caun0 8156  nvm1 8539  nvmtri 8546  nv1 8551  sm1cnilem 8601  nmosetn0 8682  nmo0 8706  blocnilem 8719  minveclem25 8829  sinhalfpilem 8946  coskpi 8982  sineq0re 8985  efifolem1 8994  efifolem5 8998  efifolem7 9000  normlem7tALT 9261  norm-ii.i 9280  normsubi 9284  norm1 9397  projlem2 9463  projlem6 9467  projlem28 9489  nmopsetn0 10072  nmfnsetn0 10085  nmopge0 10115  nmfnge0 10131  0cnop 10182  0cnfn 10183  nmop0 10189  nmfn0 10190  nmcopexlem2 10231  nmcopexlem5 10234  nmcfnexlem2 10260  nmcfnexlem5 10263  hstle1 10434  strlem1 10458  strlem3a 10460  strlem5 10463  jplem1 10476  absrdbnd 11870  fsumltisumi 11886  totbndbnd 12000  heiborlem35 12045  rrntotbnd 12078  iccbnd 12082  phtpyid 12091  phtpycom 12092  phtpyco 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645

Copyright terms: Public domain