Theorem lt2add 9469

Description: Adding both sides of two 'less than' relations. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 15-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
lt2add	|- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( A < C /\ B < D ) -> ( A + B ) < ( C + D ) ) )

Proof of Theorem lt2add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltle 9119	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> ( A < C -> A <_ C ) )
2	1	ad2ant2r 728	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( A < C -> A <_ C ) )
3		leltadd 9468	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( A <_ C /\ B < D ) -> ( A + B ) < ( C + D ) ) )
4	2, 3	syland 468	1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR /\ D e. RR ) ) -> ( ( A < C /\ B < D ) -> ( A + B ) < ( C + D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   + caddc 8949   < clt 9076   <_ cle 9077

This theorem is referenced by:  addgt0  9470  lt2addi  9545  lt2halves  10158  ulmcn  20268  bposlem7  21027  heibor1lem  26408

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082