MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2addd Unicode version

Theorem lt2addd 9582
Description: Adding both side of two inequalities. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lt2addd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
lt2addd.5  |-  ( ph  ->  A  <  C )
lt2addd.6  |-  ( ph  ->  B  <  D )
Assertion
Ref Expression
lt2addd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <  ( C  +  D ) )

Proof of Theorem lt2addd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltadd1d.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 lt2addd.4 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5 lt2addd.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  C )
6 lt2addd.6 . . 3  |-  ( ph  ->  B  <  D )
72, 4, 6ltled 9155 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
81, 2, 3, 4, 5, 7ltleaddd 9580 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <  ( C  +  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   class class class wbr 4155  (class class class)co 6022   RRcr 8924    + caddc 8928    < clt 9055
This theorem is referenced by:  mertenslem1  12590  sadcaddlem  12898  uniioombllem3  19346  itg2cnlem2  19523  ang180lem2  20521  sqsscirc1  24112  isbnd3  26186  stoweidlem13  27432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061
  Copyright terms: Public domain W3C validator