MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2addd Unicode version

Theorem lt2addd 9362
Description: Adding both side of two inequalities. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lt2addd.4  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
lt2addd.5  |-  ( ph  ->  A  <  C )
lt2addd.6  |-  ( ph  ->  B  <  D )
Assertion
Ref Expression
lt2addd  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <  ( C  +  D ) )

Proof of Theorem lt2addd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltadd1d.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 lt2addd.4 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5 lt2addd.5 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  C )
6 lt2addd.6 . . 3  |-  ( ph  ->  B  <  D )
72, 4, 6ltled 8935 . 2  |-  ( ph  ->  B  <_  D )
81, 2, 3, 4, 5, 7ltleaddd 9360 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  <  ( C  +  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    e. wcel 1621   class class class wbr 3997  (class class class)co 5792   RRcr 8704    + caddc 8708    < clt 8835
This theorem is referenced by:  mertenslem1  12302  sadcaddlem  12610  uniioombllem3  18902  itg2cnlem2  19079  ang180lem2  20070  isbnd3  25875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841
  Copyright terms: Public domain W3C validator