Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lt2addrd Structured version   Unicode version

 Description: If the right-side of a 'less-than' relationship is an addition, then we can express the left-side as an addition, too, where each term is respectively less than each term of the original right side. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem lt2addrd
StepHypRef Expression
1 lt2addrd.2 . . 3
2 lt2addrd.3 . . . . . 6
31, 2readdcld 9117 . . . . 5
4 lt2addrd.1 . . . . 5
53, 4resubcld 9467 . . . 4
65rehalfcld 10216 . . 3
71, 6resubcld 9467 . 2
82, 6resubcld 9467 . 2
92recnd 9116 . . . . . 6
101recnd 9116 . . . . . . . . 9
1110, 9addcld 9109 . . . . . . . 8
124recnd 9116 . . . . . . . 8
1311, 12subcld 9413 . . . . . . 7
1413halfcld 10214 . . . . . 6
159, 14, 14subsub4d 9444 . . . . 5
1615oveq2d 6099 . . . 4
179, 14subcld 9413 . . . . 5
1810, 14, 17subadd23d 9435 . . . 4
19132halvesd 10215 . . . . . 6
2019, 13eqeltrd 2512 . . . . 5
2110, 9, 20addsubassd 9433 . . . 4
2216, 18, 213eqtr4d 2480 . . 3
2319oveq2d 6099 . . 3
2411, 12nncand 9418 . . 3
2522, 23, 243eqtrrd 2475 . 2
26 lt2addrd.4 . . . . 5
27 difrp 10647 . . . . . 6
284, 3, 27syl2anc 644 . . . . 5
2926, 28mpbid 203 . . . 4
3029rphalfcld 10662 . . 3
311, 30ltsubrpd 10678 . 2
322, 30ltsubrpd 10678 . 2
33 oveq1 6090 . . . . 5
3433eqeq2d 2449 . . . 4
35 breq1 4217 . . . 4
3634, 353anbi12d 1256 . . 3
37 oveq2 6091 . . . . 5
3837eqeq2d 2449 . . . 4
39 breq1 4217 . . . 4
4038, 393anbi13d 1257 . . 3
4136, 40rspc2ev 3062 . 2
427, 8, 25, 31, 32, 41syl113anc 1197 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991   caddc 8995   clt 9122   cmin 9293   cdiv 9679  c2 10051  crp 10614 This theorem is referenced by:  xlt2addrd  24126 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-2 10060  df-rp 10615
 Copyright terms: Public domain W3C validator