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Theorem lt6abl 15181
Description: A group with fewer than  6 elements is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
lt6abl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  G  e.  Abel )

Proof of Theorem lt6abl
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
21grpbn0 14511 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
32adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  B  =/=  (/) )
4 6re 9822 . . . . . . . 8  |-  6  e.  RR
5 rexr 8877 . . . . . . . 8  |-  ( 6  e.  RR  ->  6  e.  RR* )
6 pnfnlt 10467 . . . . . . . 8  |-  ( 6  e.  RR*  ->  -.  +oo  <  6 )
74, 5, 6mp2b 9 . . . . . . 7  |-  -.  +oo  <  6
8 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  G )  e.  _V
91, 8eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e. 
_V
109a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  _V )
11 hashinf 11342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  =  +oo )
1210, 11sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B
)  =  +oo )
1312breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B )  <  6  <->  +oo 
<  6 ) )
1413biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B )  <  6  ->  +oo  <  6 ) )
1514impancom 427 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( -.  B  e. 
Fin  ->  +oo  <  6
) )
167, 15mt3i 118 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  B  e.  Fin )
17 hashnncl 11354 . . . . . 6  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
1816, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
193, 18mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  NN )
20 nnuz 10263 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2119, 20syl6eleq 2373 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
22 6nn 9881 . . . . 5  |-  6  e.  NN
2322nnzi 10047 . . . 4  |-  6  e.  ZZ
2423a1i 10 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
6  e.  ZZ )
25 simpr 447 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  <  6 )
26 elfzo2 10878 . . 3  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  6  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  <  6
) )
2721, 24, 25, 26syl3anbrc 1136 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  -> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 ) )
28 df-6 9808 . . . . . . 7  |-  6  =  ( 5  +  1 )
2928oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( 1..^ 6 )  =  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )
3029eleq2i 2347 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) ) )
31 5nn 9880 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
3231, 20eleqtri 2355 . . . . . 6  |-  5  e.  ( ZZ>= `  1 )
33 fzosplitsni 10921 . . . . . 6  |-  ( 5  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 5  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) )
3530, 34bitri 240 . . . 4  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 ) )
36 df-5 9807 . . . . . . . . 9  |-  5  =  ( 4  +  1 )
3736oveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( 1..^ 5 )  =  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )
3837eleq2i 2347 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) ) )
39 4nn 9879 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  NN
4039, 20eleqtri 2355 . . . . . . . 8  |-  4  e.  ( ZZ>= `  1 )
41 fzosplitsni 10921 . . . . . . . 8  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) ) )
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 4  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) )
4338, 42bitri 240 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 ) )
44 df-4 9806 . . . . . . . . . . 11  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4544oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1..^ 4 )  =  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )
4645eleq2i 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) ) )
47 3nn 9878 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
4847, 20eleqtri 2355 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ( ZZ>= `  1 )
49 fzosplitsni 10921 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) ) )
5048, 49ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 3  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) )
5146, 50bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 ) )
52 df-3 9805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5352oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1..^ 3 )  =  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )
5453eleq2i 2347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  <-> 
( # `  B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) ) )
55 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
5655, 20eleqtri 2355 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
57 fzosplitsni 10921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( ( # `
 B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ ( 2  +  1 ) )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) )
5954, 58bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  <-> 
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 ) )
60 elsni 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  B )  e.  { 1 }  ->  (
# `  B )  =  1 )
61 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
6261oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1..^ 2 )  =  ( 1..^ ( 1  +  1 ) )
63 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  ZZ
64 fzosn 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1..^ ( 1  +  1 ) )  =  { 1 } )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1..^ ( 1  +  1 ) )  =  {
1 }
6662, 65eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1..^ 2 )  =  {
1 }
6760, 66eleq2s 2375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  B )  e.  ( 1..^ 2 )  ->  ( # `  B
)  =  1 )
6867adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  =  1 )
69 hash1 11370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  1o )  =  1
7068, 69syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  =  ( # `  1o ) )
71 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN0
7268, 71syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
73 hashclb 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
749, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
7572, 74sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  B  e.  Fin )
76 1onn 6637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  e.  om
77 nnfi 7053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1o  e.  om  ->  1o  e.  Fin )
7876, 77ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  Fin
79 hashen 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  -> 
( ( # `  B
)  =  ( # `  1o )  <->  B  ~~  1o ) )
8075, 78, 79sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  (
( # `  B )  =  ( # `  1o ) 
<->  B  ~~  1o ) )
8170, 80mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  B  ~~  1o )
8210cyg 15179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e. CycGrp )
83 cygabl 15177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Abel )
8482, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  ~~  1o )  ->  G  e.  Abel )
8581, 84syldan 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 ) )  ->  G  e.  Abel )
8685ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 2 )  ->  G  e.  Abel ) )
87 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  B )  =  2  ->  ( # `
 B )  =  2 )
88 2prm 12774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  Prime
8987, 88syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  B )  =  2  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
901prmcyg 15180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  Prime )  ->  G  e. CycGrp )
9190, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  Prime )  ->  G  e.  Abel )
9291ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  Prime  ->  G  e. 
Abel ) )
9389, 92syl5 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  2  ->  G  e.  Abel ) )
9486, 93jaod 369 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 2 )  \/  ( # `
 B )  =  2 )  ->  G  e.  Abel ) )
9559, 94syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 3 )  ->  G  e.  Abel ) )
96 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  B )  =  3  ->  ( # `
 B )  =  3 )
97 3prm 12775 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  Prime
9896, 97syl6eqel 2371 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  B )  =  3  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
9998, 92syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  3  ->  G  e.  Abel ) )
10095, 99jaod 369 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 3 )  \/  ( # `
 B )  =  3 )  ->  G  e.  Abel ) )
10151, 100syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 4 )  ->  G  e.  Abel ) )
102 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  G  e.  Grp )
103 2z 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
104 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  (gEx `  G )  =  (gEx
`  G )
105 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
1061, 104, 105gexdvds2 14896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( (gEx `  G
)  ||  2  <->  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
) )
107102, 103, 106sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( (gEx `  G
)  ||  2  <->  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
) )
1081, 104gex2abl 15143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  (gEx `  G )  ||  2 )  ->  G  e.  Abel )
109108ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
(gEx `  G )  ||  2  ->  G  e. 
Abel ) )
110109adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( (gEx `  G
)  ||  2  ->  G  e.  Abel ) )
111107, 110sylbird 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( A. x  e.  B  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  2  ->  G  e.  Abel )
)
112 rexnal 2554 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  B  -.  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2  <->  -.  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2
)
113102adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e.  Grp )
114 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  x  e.  B )
1151, 105odcl 14851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  B  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN0 )
116115ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  e.  NN0 )
117 4nn0 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  NN0
118117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  e.  NN0 )
119 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( # `  B )  =  4 )
120119, 117syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( # `  B )  e.  NN0 )
121120, 74sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  B  e.  Fin )
122121adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  B  e.  Fin )
1231, 105oddvds2 14879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  x  e.  B )  ->  (
( od `  G
) `  x )  ||  ( # `  B
) )
124113, 122, 114, 123syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( # `  B
) )
125119adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( # `  B )  =  4 )
126124, 125breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  4 )
127 sq2 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
128103a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  e.  ZZ )
129 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  NN0
130129a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  e.  NN0 )
1311, 105odcl2 14878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  x  e.  B )  ->  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )
132113, 122, 114, 131syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  e.  NN )
133 pccl 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )  ->  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e. 
NN0 )
13488, 132, 133sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )
135134nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ )
136 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  -.  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 )
137 dvdsexp 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0  /\  1  e.  ( ZZ>= `  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) )
1381373expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )  ->  ( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) ) )
139103, 134, 138sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) 
||  ( 2 ^ 1 ) ) )
140 eluz 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  <->  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
141135, 63, 140sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  e.  (
ZZ>= `  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) )  <->  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
142 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( n  =  2  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ 2 ) )
143142, 127syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  2  ->  (
2 ^ n )  =  4 )
144143breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  2  ->  (
( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n )  <->  ( ( od `  G ) `  x )  ||  4
) )
145144rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  4 )  ->  E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n ) )
146129, 126, 145sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n ) )
147 pcprmpw2 12934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  (
( od `  G
) `  x )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  ( 2 ^ n )  <->  ( ( od `  G ) `  x )  =  ( 2 ^ ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) ) ) )
14888, 132, 147sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( ( od
`  G ) `  x )  ||  (
2 ^ n )  <-> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) ) )
149146, 148mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
150149eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) )  =  ( ( od
`  G ) `  x ) )
151 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  2  e.  CC
152 exp1 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
153151, 152ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
154153a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ 1 )  =  2 )
155150, 154breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( 2 ^ ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) )  ||  (
2 ^ 1 )  <-> 
( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 ) )
156139, 141, 1553imtr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) )  <_  1  ->  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2 ) )
157136, 156mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  -.  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  <_  1 )
158 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  RR
159134nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  RR )
160 ltnle 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  RR )  ->  ( 1  < 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  <->  -.  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
161158, 159, 160sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  -.  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <_ 
1 ) )
162157, 161mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
1  <  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
163 nn0ltp1le 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  NN0 )  ->  ( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )
16471, 134, 163sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  <  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
) ) )
165162, 164mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
16661, 165syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
2  <_  ( 2 
pCnt  ( ( od
`  G ) `  x ) ) )
167 eluz2 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
168128, 135, 166, 167syl3anbrc 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2  pCnt  (
( od `  G
) `  x )
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
169 dvdsexp 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  e.  NN0  /\  (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2 ^ 2 )  ||  ( 2 ^ (
2  pCnt  ( ( od `  G ) `  x ) ) ) )
170128, 130, 168, 169syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( 2 ^ 2 )  ||  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
171127, 170syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  ||  ( 2 ^ ( 2  pCnt 
( ( od `  G ) `  x
) ) ) )
172171, 149breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
4  ||  ( ( od `  G ) `  x ) )
173 dvdseq 12576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( od
`  G ) `  x )  e.  NN0  /\  4  e.  NN0 )  /\  ( ( ( od
`  G ) `  x )  ||  4  /\  4  ||  ( ( od `  G ) `
 x ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  x )  =  4 )
174116, 118, 126, 172, 173syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  4 )
175174, 125eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  -> 
( ( od `  G ) `  x
)  =  ( # `  B ) )
1761, 105, 113, 114, 175iscygodd 15175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e. CycGrp )
177176, 83syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  ( x  e.  B  /\  -.  (
( od `  G
) `  x )  ||  2 ) )  ->  G  e.  Abel )
178177expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B
)  =  4 )  /\  x  e.  B
)  ->  ( -.  ( ( od `  G ) `  x
)  ||  2  ->  G  e.  Abel ) )
179178rexlimdva 2667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( E. x  e.  B  -.  ( ( od `  G ) `
 x )  ||  2  ->  G  e.  Abel ) )
180112, 179syl5bir 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  -> 
( -.  A. x  e.  B  ( ( od `  G ) `  x )  ||  2  ->  G  e.  Abel )
)
181111, 180pm2.61d 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  =  4 )  ->  G  e.  Abel )
182181ex 423 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  4  ->  G  e.  Abel ) )
183101, 182jaod 369 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 4 )  \/  ( # `
 B )  =  4 )  ->  G  e.  Abel ) )
18443, 183syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 5 )  ->  G  e.  Abel ) )
185 id 19 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  B )  =  5  ->  ( # `
 B )  =  5 )
186 5prm 13110 . . . . . . 7  |-  5  e.  Prime
187185, 186syl6eqel 2371 . . . . . 6  |-  ( (
# `  B )  =  5  ->  ( # `
 B )  e. 
Prime )
188187, 92syl5 28 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  =  5  ->  G  e.  Abel ) )
189184, 188jaod 369 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( ( # `  B
)  e.  ( 1..^ 5 )  \/  ( # `
 B )  =  5 )  ->  G  e.  Abel ) )
19035, 189syl5bi 208 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 )  ->  G  e.  Abel ) )
191190imp 418 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  e.  ( 1..^ 6 ) )  ->  G  e.  Abel )
19227, 191syldan 456 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( # `  B )  <  6 )  ->  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   omcom 4656   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230  ..^cfzo 10870   ^cexp 11104   #chash 11337    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   Basecbs 13148   Grpcgrp 14362   odcod 14840  gExcgex 14841   Abelcabel 15090  CycGrpccyg 15164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-od 14844  df-gex 14845  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-cyg 15165
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