Theorem ltadd2 5602

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Proof shortened by Paul Chapman, 27-Jan-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltadd2	|- (A < B <-> (C + A) < (C + B))

Proof of Theorem ltadd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 |- A e. RR
2		lt.2	. . 3 |- B e. RR
3		lt.3	. . 3 |- C e. RR
4		axltadd 5517	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR) -> (A < B -> (C + A) < (C + B)))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 918	. 2 |- (A < B -> (C + A) < (C + B))
6		axltadd 5517	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ A e. RR /\ C e. RR) -> (B < A -> (C + B) < (C + A)))
7	2, 1, 3, 6	mp3an 918	. . . . . 6 |- (B < A -> (C + B) < (C + A))
8		opreq2 3975	. . . . . 6 |- (B = A -> (C + B) = (C + A))
9	7, 8	orim12i 336	. . . . 5 |- ((B < A \/ B = A) -> ((C + B) < (C + A) \/ (C + B) = (C + A)))
10	2, 1	leloe 5587	. . . . 5 |- (B <_ A <-> (B < A \/ B = A))
11	3, 2	readdcl 5346	. . . . . 6 |- (C + B) e. RR
12	3, 1	readdcl 5346	. . . . . 6 |- (C + A) e. RR
13	11, 12	leloe 5587	. . . . 5 |- ((C + B) <_ (C + A) <-> ((C + B) < (C + A) \/ (C + B) = (C + A)))
14	9, 10, 13	3imtr4 219	. . . 4 |- (B <_ A -> (C + B) <_ (C + A))
15	2, 1	lenlt 5590	. . . 4 |- (B <_ A <-> -. A < B)
16	11, 12	lenlt 5590	. . . 4 |- ((C + B) <_ (C + A) <-> -. (C + A) < (C + B))
17	14, 15, 16	3imtr3 218	. . 3 |- (-. A < B -> -. (C + A) < (C + B))
18	17	a3i 74	. 2 |- ((C + A) < (C + B) -> A < B)
19	5, 18	impbi 157	1 |- (A < B <-> (C + A) < (C + B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  RRcr 5245   + caddc 5249   <_ cle 5307   < clt 5498

This theorem is referenced by:  ltadd1 5603  lt2add 5608  addgt0 5610  nneo 6199  sqrlem1 6674  sqrlem10 6683  sqrlem15 6688  sqrlem16 6689  ruclem1 7511  ruclem25 7535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-plus 5257  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503

Copyright terms: Public domain