Theorem ltaddpq 5062

Description: The sum of two fractions is greater than one of them.

Hypotheses

Ref	Expression
ltaddpq.1	|- A e. V
ltaddpq.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltaddpq	|- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> A <Q (A +Q B))

Proof of Theorem ltaddpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddpq.2	. . . . . 6 |- B e. V
2		oprex 3978	. . . . . 6 |- (B +Q B) e. V
3	1, 2	ltapq 5059	. . . . 5 |- (A e. Q. -> (B <Q (B +Q B) <-> (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
4		1lt2pq 5061	. . . . . . 7 |- 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
5		1q 5040	. . . . . . . . 9 |- 1Q e. Q.
6	5	elisseti 1815	. . . . . . . 8 |- 1Q e. V
7		oprex 3978	. . . . . . . 8 |- (1Q +Q 1Q) e. V
8	6, 7	ltmpq 5060	. . . . . . 7 |- (B e. Q. -> (1Q <Q (1Q +Q 1Q) <-> (B .Q 1Q) <Q (B .Q (1Q +Q 1Q))))
9	4, 8	mpbii 193	. . . . . 6 |- (B e. Q. -> (B .Q 1Q) <Q (B .Q (1Q +Q 1Q)))
10		mulidpq 5052	. . . . . 6 |- (B e. Q. -> (B .Q 1Q) = B)
11	10, 10	opreq12d 3973	. . . . . . 7 |- (B e. Q. -> ((B .Q 1Q) +Q (B .Q 1Q)) = (B +Q B))
12	6, 6	distrpq 5050	. . . . . . 7 |- (B .Q (1Q +Q 1Q)) = ((B .Q 1Q) +Q (B .Q 1Q))
13	11, 12	syl5eq 1517	. . . . . 6 |- (B e. Q. -> (B .Q (1Q +Q 1Q)) = (B +Q B))
14	9, 10, 13	3brtr3d 2640	. . . . 5 |- (B e. Q. -> B <Q (B +Q B))
15	3, 14	syl5bi 208	. . . 4 |- (A e. Q. -> (B e. Q. -> (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
16		ltaddpq.1	. . . . . 6 |- A e. V
17	1, 16	addcompq 5045	. . . . 5 |- (B +Q A) = (A +Q B)
18		oprex 3978	. . . . . . 7 |- (A +Q B) e. V
19	1, 18	addcompq 5045	. . . . . 6 |- (B +Q (A +Q B)) = ((A +Q B) +Q B)
20	1, 1	addasspq 5046	. . . . . 6 |- ((A +Q B) +Q B) = (A +Q (B +Q B))
21	19, 20	eqtr 1493	. . . . 5 |- (B +Q (A +Q B)) = (A +Q (B +Q B))
22	17, 21	breq12i 2624	. . . 4 |- ((B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B)) <-> (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B)))
23	15, 22	syl6ibr 213	. . 3 |- (A e. Q. -> (B e. Q. -> (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
24	23	imp 350	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B)))
25	16, 18	ltapq 5059	. . 3 |- (B e. Q. -> (A <Q (A +Q B) <-> (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
26	25	adantl 388	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q (A +Q B) <-> (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
27	24, 26	mpbird 196	1 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> A <Q (A +Q B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 957  Vcvv 1808   class class class wbr 2615  (class class class)co 3958  Q.cnq 4962  1Qc1q 4963   +Q cplq 4964   .Q cmq 4965   <Q cltq 4967

This theorem is referenced by:  ltexpq 5063  nsmallpq 5066  ltbtwnpq 5067  prlem934 5122  ltaddpr 5123  ltexprlem2 5126  ltexprlem4 5128

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-ltq 5025  df-1q 5026

Copyright terms: Public domain