Theorem ltaddpr 5152

Description: The sum of two positive reals is greater than one of them. Proposition 9-3.5(iii) of [Gleason] p. 123.

Assertion

Ref	Expression
ltaddpr	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> A <P (A +P. B))

Proof of Theorem ltaddpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 5105	. . . . 5 |- (B e. P. -> B =/= (/))
2		ne0 2292	. . . . 5 |- (B =/= (/) <-> E.y y e. B)
3	1, 2	sylib 198	. . . 4 |- (B e. P. -> E.y y e. B)
4	3	adantl 390	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> E.y y e. B)
5		elprpq 5107	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A +P. B) e. P. /\ (x +Q y) e. (A +P. B)) -> (x +Q y) e. Q.)
6		visset 1816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
7		dmaddpq 5071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
8		0npq 5062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. (/) e. Q.
9	6, 7, 8	ndmoprrcl 4052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x +Q y) e. Q. -> (x e. Q. /\ y e. Q.))
10		visset 1816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. V
11	10, 6	ltaddpq 5091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> x <Q (x +Q y))
12	5, 9, 11	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A +P. B) e. P. /\ (x +Q y) e. (A +P. B)) -> x <Q (x +Q y))
13		prcdpq 5109	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A +P. B) e. P. /\ (x +Q y) e. (A +P. B)) -> (x <Q (x +Q y) -> x e. (A +P. B)))
14	12, 13	mpd 26	. . . . . . . . . . 11 |- (((A +P. B) e. P. /\ (x +Q y) e. (A +P. B)) -> x e. (A +P. B))
15		addclpr 5132	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A +P. B) e. P.)
16	15	adantr 391	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (A +P. B) e. P.)
17		df-plp 5100	. . . . . . . . . . . . 13 |- +P. = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (y +Q z)})}
18	17	genpprecl 5116	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (x +Q y) e. (A +P. B)))
19	18	imp 350	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (x +Q y) e. (A +P. B))
20	14, 16, 19	sylanc 473	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (x e. A /\ y e. B)) -> x e. (A +P. B))
21	20	exp32 379	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (x e. A -> (y e. B -> x e. (A +P. B))))
22	21	com23 32	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> (x e. A -> x e. (A +P. B))))
23	22	19.21adv 1290	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> A.x(x e. A -> x e. (A +P. B))))
24		dfss2 2061	. . . . . . 7 |- (A (_ (A +P. B) <-> A.x(x e. A -> x e. (A +P. B)))
25	23, 24	syl6ibr 213	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> A (_ (A +P. B)))
26		eleq2 1538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A = (A +P. B) -> ((x +Q y) e. A <-> (x +Q y) e. (A +P. B)))
27	26	biimprcd 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x +Q y) e. (A +P. B) -> (A = (A +P. B) -> (x +Q y) e. A))
28	27	con3d 95	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x +Q y) e. (A +P. B) -> (-. (x +Q y) e. A -> -. A = (A +P. B)))
29	18, 28	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((x e. A /\ y e. B) -> (-. (x +Q y) e. A -> -. A = (A +P. B))))
30	29	exp3a 376	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (x e. A -> (y e. B -> (-. (x +Q y) e. A -> -. A = (A +P. B)))))
31	30	com34 36	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (x e. A -> (-. (x +Q y) e. A -> (y e. B -> -. A = (A +P. B)))))
32	31	imp3a 361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((x e. A /\ -. (x +Q y) e. A) -> (y e. B -> -. A = (A +P. B))))
33	32	19.23adv 1216	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.x(x e. A /\ -. (x +Q y) e. A) -> (y e. B -> -. A = (A +P. B))))
34		prlem934 5151	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. P. /\ y e. Q.) -> E.x(x e. A /\ -. (x +Q y) e. A))
35	33, 34	syl5 21	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A e. P. /\ y e. Q.) -> (y e. B -> -. A = (A +P. B))))
36		elprpq 5107	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. P. /\ y e. B) -> y e. Q.)
37	35, 36	sylan2i 467	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A e. P. /\ (B e. P. /\ y e. B)) -> (y e. B -> -. A = (A +P. B))))
38	37	exp4d 383	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A e. P. -> (B e. P. -> (y e. B -> (y e. B -> -. A = (A +P. B))))))
39	38	imp3a 361	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> (y e. B -> -. A = (A +P. B)))))
40	39	pm2.43i 64	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> (y e. B -> -. A = (A +P. B))))
41	40	pm2.43d 65	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> -. A = (A +P. B)))
42	25, 41	jcad 602	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> (A (_ (A +P. B) /\ -. A = (A +P. B))))
43		dfpss2 2136	. . . . 5 |- (A (. (A +P. B) <-> (A (_ (A +P. B) /\ -. A = (A +P. B)))
44	42, 43	syl6ibr 213	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (y e. B -> A (. (A +P. B)))
45	44	19.23adv 1216	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.y y e. B -> A (. (A +P. B)))
46	4, 45	mpd 26	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> A (. (A +P. B))
47		ltprord 5146	. . 3 |- ((A e. P. /\ (A +P. B) e. P.) -> (A <P (A +P. B) <-> A (. (A +P. B)))
48	15, 47	syldan 469	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P (A +P. B) <-> A (. (A +P. B)))
49	46, 48	mpbird 196	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> A <P (A +P. B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588   (_ wss 2050   (. wpss 2051  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  Q.cnq 4991   +Q cplq 4993   <Q cltq 4996  P.cnp 4997   +P. cpp 4999   <P cltp 5001

This theorem is referenced by:  ltaddpr2 5153  ltexprlem7 5160  ltaprlem 5162  0lt1sr 5216  mappsrpr 5230

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-plp 5100  df-ltp 5102

Copyright terms: Public domain