Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltanq Unicode version

Theorem ltanq 8837
 Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltanq

Proof of Theorem ltanq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addnqf 8814 . . 3
21fdmi 5587 . 2
3 ltrelnq 8792 . 2
4 0nnq 8790 . 2
5 ordpinq 8809 . . . 4
7 elpqn 8791 . . . . . . 7
873ad2ant3 980 . . . . . 6
9 elpqn 8791 . . . . . . 7
1093ad2ant1 978 . . . . . 6
11 addpipq2 8802 . . . . . 6
128, 10, 11syl2anc 643 . . . . 5
13 elpqn 8791 . . . . . . 7
14133ad2ant2 979 . . . . . 6
15 addpipq2 8802 . . . . . 6
168, 14, 15syl2anc 643 . . . . 5
1712, 16breq12d 4217 . . . 4
18 addpqnq 8804 . . . . . . . 8
1918ancoms 440 . . . . . . 7
20193adant2 976 . . . . . 6
21 addpqnq 8804 . . . . . . . 8
2221ancoms 440 . . . . . . 7
23223adant1 975 . . . . . 6
2420, 23breq12d 4217 . . . . 5
25 lterpq 8836 . . . . 5
2624, 25syl6bbr 255 . . . 4
27 xp2nd 6368 . . . . . . . . . 10
288, 27syl 16 . . . . . . . . 9
29 mulclpi 8759 . . . . . . . . 9
3028, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . 8
31 ltmpi 8770 . . . . . . . 8
3230, 31syl 16 . . . . . . 7
33 xp2nd 6368 . . . . . . . . . . 11
3414, 33syl 16 . . . . . . . . . 10
35 mulclpi 8759 . . . . . . . . . 10
3628, 34, 35syl2anc 643 . . . . . . . . 9
37 xp1st 6367 . . . . . . . . . . 11
388, 37syl 16 . . . . . . . . . 10
39 xp2nd 6368 . . . . . . . . . . 11
4010, 39syl 16 . . . . . . . . . 10
41 mulclpi 8759 . . . . . . . . . 10
4238, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . . 9
43 mulclpi 8759 . . . . . . . . 9
4436, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . 8
45 ltapi 8769 . . . . . . . 8
4644, 45syl 16 . . . . . . 7
4732, 46bitrd 245 . . . . . 6
48 mulcompi 8762 . . . . . . . . . 10
49 fvex 5733 . . . . . . . . . . 11
50 fvex 5733 . . . . . . . . . . 11
51 fvex 5733 . . . . . . . . . . 11
52 mulcompi 8762 . . . . . . . . . . 11
53 mulasspi 8763 . . . . . . . . . . 11
5449, 50, 51, 52, 53, 51caov411 6270 . . . . . . . . . 10
5548, 54eqtri 2455 . . . . . . . . 9
5655oveq2i 6083 . . . . . . . 8
57 distrpi 8764 . . . . . . . 8
58 mulcompi 8762 . . . . . . . 8
5956, 57, 583eqtr2i 2461 . . . . . . 7
60 mulcompi 8762 . . . . . . . . . 10
61 fvex 5733 . . . . . . . . . . 11
62 fvex 5733 . . . . . . . . . . 11
6361, 62, 51, 52, 53, 50caov411 6270 . . . . . . . . . 10
6460, 63eqtri 2455 . . . . . . . . 9
65 mulcompi 8762 . . . . . . . . . 10
66 fvex 5733 . . . . . . . . . . 11
6766, 62, 51, 52, 53, 51caov411 6270 . . . . . . . . . 10
6865, 67eqtri 2455 . . . . . . . . 9
6964, 68oveq12i 6084 . . . . . . . 8
70 distrpi 8764 . . . . . . . 8
71 mulcompi 8762 . . . . . . . 8
7269, 70, 713eqtr2i 2461 . . . . . . 7
7359, 72breq12i 4213 . . . . . 6
7447, 73syl6bb 253 . . . . 5
75 ordpipq 8808 . . . . 5
7674, 75syl6bbr 255 . . . 4
7717, 26, 763bitr4rd 278 . . 3
786, 77bitrd 245 . 2
792, 3, 4, 78ndmovord 6228 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  cop 3809   class class class wbr 4204   cxp 4867  cfv 5445  (class class class)co 6072  c1st 6338  c2nd 6339  cnpi 8708   cpli 8709   cmi 8710   clti 8711   cplpq 8712   cltpq 8714  cnq 8716  cerq 8718   cplq 8719   cltq 8722 This theorem is referenced by:  ltaddnq  8840  ltbtwnnq  8844  addclpr  8884  distrlem4pr  8892  ltexprlem3  8904  ltexprlem4  8905  ltexprlem6  8907  prlem936  8913 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-ni 8738  df-pli 8739  df-mi 8740  df-lti 8741  df-plpq 8774  df-ltpq 8776  df-enq 8777  df-nq 8778  df-erq 8779  df-plq 8780  df-1nq 8782  df-ltnq 8784
 Copyright terms: Public domain W3C validator