Theorem ltapi 5013

Description: Ordering property of addition for positive integers.

Hypotheses

Ref	Expression
ltapi.1	|- A e. V
ltapi.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ltapi	|- (C e. N. -> (A <N B <-> (C +N A) <N (C +N B)))

Proof of Theorem ltapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltapi.2	. 2 |- B e. V
2		dmaddpi 5001	. 2 |- dom +N = (N. X. N.)
3		ltapi.1	. 2 |- A e. V
4		ltrelpi 5000	. 2 |- <N (_ (N. X. N.)
5		0npi 4993	. 2 |- -. (/) e. N.
6		nnaord 4228	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A e. B <-> (C +o A) e. (C +o B)))
7		pinn 4989	. . . . . 6 |- (A e. N. -> A e. om)
8		pinn 4989	. . . . . 6 |- (B e. N. -> B e. om)
9		pinn 4989	. . . . . 6 |- (C e. N. -> C e. om)
10	6, 7, 8, 9	syl3an 867	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A e. B <-> (C +o A) e. (C +o B)))
11	10	3expa 832	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A e. B <-> (C +o A) e. (C +o B)))
12		ltpiord 4998	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))
13	12	adantr 389	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))
14		ltpiord 4998	. . . . . . . 8 |- (((C +N A) e. N. /\ (C +N B) e. N.) -> ((C +N A) <N (C +N B) <-> (C +N A) e. (C +N B)))
15		addclpi 5003	. . . . . . . 8 |- ((C e. N. /\ A e. N.) -> (C +N A) e. N.)
16		addclpi 5003	. . . . . . . 8 |- ((C e. N. /\ B e. N.) -> (C +N B) e. N.)
17	14, 15, 16	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C +N A) <N (C +N B) <-> (C +N A) e. (C +N B)))
18		addpiord 4995	. . . . . . . . 9 |- ((C e. N. /\ A e. N.) -> (C +N A) = (C +o A))
19	18	adantr 389	. . . . . . . 8 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> (C +N A) = (C +o A))
20		addpiord 4995	. . . . . . . . 9 |- ((C e. N. /\ B e. N.) -> (C +N B) = (C +o B))
21	20	adantl 388	. . . . . . . 8 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> (C +N B) = (C +o B))
22	19, 21	eleq12d 1540	. . . . . . 7 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C +N A) e. (C +N B) <-> (C +o A) e. (C +o B)))
23	17, 22	bitrd 527	. . . . . 6 |- (((C e. N. /\ A e. N.) /\ (C e. N. /\ B e. N.)) -> ((C +N A) <N (C +N B) <-> (C +o A) e. (C +o B)))
24	23	anandis 512	. . . . 5 |- ((C e. N. /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> ((C +N A) <N (C +N B) <-> (C +o A) e. (C +o B)))
25	24	ancoms 436	. . . 4 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((C +N A) <N (C +N B) <-> (C +o A) e. (C +o B)))
26	11, 13, 25	3bitr4d 549	. . 3 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A <N B <-> (C +N A) <N (C +N B)))
27	26	3impa 827	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A <N B <-> (C +N A) <N (C +N B)))
28	1, 2, 3, 4, 5, 27	ndmord 4045	1 |- (C e. N. -> (A <N B <-> (C +N A) <N (C +N B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1808   class class class wbr 2615  omcom 3127  (class class class)co 3958   +o coa 4123  N.cnpi 4955   +N cpli 4956   <N clti 4958

This theorem is referenced by:  ltapq 5059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-oadd 4128  df-ni 4983  df-pli 4984  df-lti 4986

Copyright terms: Public domain